[李群李代数]-2-李群和李代数的一般理论
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发布时间：2024-10-24 12:51
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时间：2024-11-06 17:15
连续对称操作对应的群[公式] 是一个不可数无限群。李群 [公式] 的任意一个群元 [公式] 可由一个 [公式] 维实参数矢量 [公式] 刻画，[公式] 构成的拓扑空间称为(李)群空间，群空间的维数即为李群的阶数。同时，作为一个李群，还满足参数矢量继承群乘法: [公式] ，[公式] 称为组合函数，且 [公式] 满足
则[公式] 构成一个 [公式] 阶李群。群空间及其上配备的保持群乘法的群函数(组合函数)相当于将作为代数对象的李群一一映成了一个拓扑对象。因此，李群既是一个群，也是一个微分流形，从而可以谈论其局域(代数)性质和整体(拓扑)性质。
李群的局域性质完全由群空间恒元附近的无穷小元素刻画。李群中所有无穷小元素对标量函数的作用可由[公式] 个微量算符 [公式] 刻画，其某个线性表示称为李群的该表示的生成元: [公式] 。根据定义，忠实表示的生成元是线性无关的；幺正表示的生成元是厄米的。生成元决定了李群的局域性质。
李群的整体性质则由群空间的拓扑性质刻画。主要讨论以下两点：
关于李群的基本性质，最终被归结为三大定理：
举例来说，让我们考虑单连通Abel李群[公式] ，它的阶数是 [公式] ，可由单参数 [公式] 刻画，有矩阵表示 [公式] [公式] ，组合函数 [公式] 。其生成元为 [公式] ，组合系数 [公式] 。根据生成元可以得到微分方程: [公式] 是自洽的。Abel性 [公式] 蕴含结构常数为零，这也与组合系数算得的值自洽。
李群的无穷小元素给出其生成元，这些生成元自然可以张成一个线性空间。从拓扑的观点看，就是在考虑李群群空间恒元附近的切空间。李群在该线性空间上有一个自然表示，称为伴随表示 i.e.
[公式]
伴随表示的生成元即对应李群的结构常数:[公式] 。显然伴随表示的生成元是无迹的。伴随表示的作用相当于李群在生成元空间上诱导的自同构，这一自同构便是李括号运算。简单来说，Lie I告诉我们李群的切空间信息，Lie II告诉我们李群切空间的自同构信息，Lie III告诉我们李群切空间的切空间信息。
最后来谈群参数变换对上述结构的影响。生成元[公式] 是一个协变矢量，故按照 [公式] 的方式变换；结构常数 [公式] 是一个 [公式] 型混合张量，故按照 [公式] 的方式变换。其中 [公式] 是某个Jacobi变换矩阵。注意到，对于伴随表示，生成元是纯虚数，因此伴随表示是实表示，从而对于紧致李群，我们总可以做实正交变换将其伴随表示变成实正交表示，而相应的李群结构常数变为完全反对称的。
李群的切空间具有特殊的性质。将[公式] 看作一个整体(数学生成元)，对易关系 [公式] 自然为该线性空间赋予了一个乘法结构 [公式] ，称为李乘法，从而将其提升为一个代数，记作 [公式] 。故，[公式] 在 [公式] 上张成的线性空间配备李乘法形成一个实李代数；在 [公式] 上张成的线性空间配备李乘法形成一个复李代数。一个复李代数可以由不同实形，不同实李代数可以对应同一复化。例如，实李代数 [公式] 和 [公式] 对应同一个复李代数 [公式] 。给出李代数的结构后，李群的局域性质就可以被精确地刻画。主要有三个重要性质会反映到李代数上。
下面给出半单李代数的正则形式，便于我们对它进行系统分类。对于任一李代数[公式] ，其结构常数给出其结构信息，可用结构常数定义一个Killing型:
[公式]
Killing型为李代数提供了一个度规，是一个[公式] 型协变张量，按 [公式] 的方式变换。对于实李代数，Killing型总可以被对角化为标准形式(对角线只含 [公式] )。
Cartan判据:李代数是半单的，当且仅当其Killing型是非退化的(不含零本征值)；实李代数是紧致半单的，当且仅当其Killing型是负定的。
Killing型作为一个协变度规，自然可以降指标。总能将李代数的结构常数变为[公式] ，它是全反对称的 [公式] 型协变张量。对于半单李代数，由于Killing型非奇异，还可定义Killing型的逆: [公式] ，从而起到升指标的作用，可将生成元变为 [公式] 。由此可定义李代数中的 [公式] 阶Casmir算子:
[公式]
它与李代数的任一生成元对易。半单李代数独立的Casmir算子的个数即为它的秩，这与会后通过零根定义的秩一致。在物理上，我们通常通过寻找这些Casmir算子标记不等价的不可约表示。
引入Killing型自然为李代数这一线性空间上配备了内积，我们采用Dirac符号来表示这一符号体系。在李代数中，生成元既是矢量也是算符。作为一个矢量，它可以表示为[公式] ，内积定义为 [公式] 是对称的；作为一个算符，它作用在一个态上按照李乘法作用 [公式] ，满足 [公式] 。
我们特别关注算符的零本征矢量。首先,[公式] ，任意算符自身是自身的零本征矢量；其次，若设 [公式] 的零本征矢量为 [公式] ，取 [公式] ，为李代数的秩，相应算符的零本征矢量称为李代数的正则矢量。[公式] 维 [公式] 秩的半单李代数的正则矢量存在 [公式] 个相互对易且线性无关的零本征矢量 [公式] ，它们张成一个 [公式] 维Abel子代数，称为李代数 [公式] 的Cartan子代数 [公式] ；其余 [公式] 维子空间中，[公式] 个 [公式] 的 [公式] 个共同本征矢量 [公式] 非简并，[公式] 构成的 [公式] 维空间称为根空间 [公式] 。基本可以说，半单李代数的Cartan子代数(零根)是其的"守恒量"，而其余的非零根则充当该守恒量对应的"升降算符"。我们会在后面更清晰地看出这一点。
一个半单李代数[公式] 可以被剖分为一个 [公式] 重简并的零根和 [公式] 个互不简并非零根。我们先来表述它的正则形式：任意一个半单李代数拥有一套正则基 [公式] ，称为Cartan-Weyl基，满足如下正则对易关系:
[公式]
例如，对于李代数[公式] ，它是3维1秩的半单李代数：存在一个1重简并的零根 [公式] ，构成1维Cartan子代数；存在2个互补简并的非零根 [公式] ，[公式] 构成一个一维根空间的三点(即为一维根图 [公式] )；并满足 [公式] ，[公式] ；同时，具有一个2阶Casmir算子 [公式] 。这就是量子力学中的 [公式] 角动量理论的代数基础。
参考
[1] 物理学中的群论, 马中骐
