用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)时,从n=k到n...
发布网友
发布时间：2024-10-23 22:38
共1个回答
热心网友
时间：2024-10-25 06:32
<1>把n=1代入式子左右侧，左边=（1+1）=2，右边=2^1*1=2，左边=右边，所以n=1的时候式子成立.
<2>假设n=k的时候式子成立,则
n=k:
(k+1)(k+2)…(k+k)=2^k*1*3*…*(2k-1)
(已知)
n=k+1:
(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+k+2)=2^(k+1)*1*3*…*(2k-1)(2k+1)
(求证目标)
观察可得，左边增乘代数式为((k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+k
+2))/((k+1)(k+2)……(k+k))=(2*k+2)(2*k+1)/(k+1)=2*(2k+1)
∴(k+1)(k+2)…(k+k)*2*(2k+1)=2^k*1*3*…*(2k-1)*2*(2k+1)
(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+k+2)=2^(k+1)*1*3*…*(2k-1)(2k+1)
∴对于任意的整数k>=1，若有n=k使等式成立均有n=k+1使等式成立
综合<1><2>,可以得出对于任意的整数n>=1,都有（n+1）(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)
