类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。 （1）求AB的长； （2）求CD的长。
CADB类型二：面积问题
【例题】如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长2
为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm。 C D B
A 7cm
【练1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求∠ADC的度数
25 A D
BE 169
C B
【练2】如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是______. 【练3】如图字母B所代表的正方形的面积是
类型三：距离最短问题
【例题】 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
B
A C D L
- 1 -
【例题】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
北
A 牧童 小屋 B 东
小河
【练1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
【练2】如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（ ） A、3
B、
C、
D、1
【练3】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高 为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
C B
类型四：判断三角形的形状
2A 10 15 【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
2222
【练1】已知△ABC的三边分别为m－n,2mn,m+n(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
- 2 -
222
【练2】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a－b)(a+b－c)＝0，则它的形状为（ ）三角形
A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角
22(ab)c2ab,则这个三角形是( ) 三角形 【练3】三角形的三边长为
22222
（A）等边 （B）钝角 （C） 直角 （D）锐角
类型五：直接考查勾股定理
【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。
【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【例题】如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
练：△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．
【练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
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类型六：构造应用勾股定理
类型七：利用勾股定理作长为n的线段 【例题】在数轴上表示10的点。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为10。 【练习】在数轴上表示13的点。
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．
3、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
2、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．
3、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
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类型九：生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
【练1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。 【练2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
【练3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.
3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
类型十：翻折问题
【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ C
D ABE
- 5 -
1.如图,矩形纸片ABCD中,已知AD=4,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且
EF=.则AB的长为( )
【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
【练习2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长。
【练习3】如图，把矩形纸片
（1）求证：（2）设
沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处。
，试猜想之间的一种关系，并给予证明．
【练习4】如图,矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=,折叠纸片使AD
边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为
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4.如图所示,将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B落在E点,AE交DC于F点,已知AB=8cm,BC=4cm.则折叠后重合部分的面积为
5.如图,把一张长方形纸片ABCD折叠起来,使其对角顶点A与C重合,若长方形的长BC为8,宽AB为4,则折叠后重合部分的面积是
6.如图所示,在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,点D的对应点为点G,连接DG,则图中阴影部分的面积为
类型十一：旋转问题
例题：如图所示，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90到CBE的位置，若BP=a，求：以PE为边长的正方形的面积
练习：如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．
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2014年10月22日csmaill的初中数学组卷
一．选择题（共3小题）
1．如图，梯子AB斜靠在墙面上，墙壁AC与地面BC互相垂直，且此时AC=BC，当梯子的顶端A下滑a米时，梯足B沿CB方向滑动了b米，则a与b的大小关系是（ ）
a=b A．B． a＜b a＞b C．D． 不能确定，与梯子长AB有关 2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（ ）
9 8 27 45 A．B． C． D． 3．（2011•玉溪一模）已知一个锐角三角形两边长分别为3，4，则第三边长不可能的值是（ ） 4 3 6 4.5 A．B． C． D． 二．填空题（共6小题） 4．（2009•绥化）用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是 _________ ．
5．如图，P是等边△ABC内一点，PA=6，PB=8，PC=10，则∠APB= _________ ．
6．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是36cm，则AC长是 _________ cm．
2
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7．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为 _________ cm．
8．（2014•灌南县模拟）小红在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为4、8、6，则原直角三角形纸片的斜边长是 _________ ．
9．（2007•绵阳）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论： ①以a，b，c的长为边的三条线段能组成一个三角形 ②以的长为边的三条线段能组成一个三角形 ③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形 ④以
的长为边的三条线段能组成直角三角形
2
2
2
其中所有正确结论的序号为 _________ ．
三．解答题（共4小题）
10．（2012•宿迁）（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′， 求证：DE′=DE．
（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．
222
求证：DE=AD+EC．
- 9 -
11．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC．求△ABC的面积．
12．（2012•南充）在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B． （1）求证：MA=MB；
（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
13．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求证：△ABD为直角三角形．
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2014年10月22日csmaill的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．如图，梯子AB斜靠在墙面上，墙壁AC与地面BC互相垂直，且此时AC=BC，当梯子的顶端A下滑a米时，梯足B沿CB方向滑动了b米，则a与b的大小关系是（ ）
a=b A．B． a＜b a＞b C．D． 不能确定，与梯子长AB有关 考点： 勾股定理的应用． 分析： 根据题意由勾股定理得出关于AC，BC，a，b的等式，再利用2AC﹣a＜2BC+b，得出a＞b． 解答： 解：∵AC=BC，当梯子的顶端A下滑a米时，梯足B沿CB方向滑动了b米， ∴CD=AC﹣a，EC=BC+b=AC+b， 2222∴AC+BC=（AC﹣a）+（AC+b）， 22∴2AC•a﹣a=2BC•b+b， ∴a（2AC﹣a）=b（2BC+b）， ∵AC=BC， ∴2AC﹣a＜2BC+b， ∴a＞b， 故选：C． 点评： 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． 2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（ ）
9 A．
8 B． 27 C． - 11 -
45 D． 考点： 勾股定理． 分析： 设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x﹣3，求出即可． 解答： 解：设正方形D的面积为x， ∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：2+4=x﹣3， 解得：x=9， 故选A． 点评： 本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意得出方程，题目比较典型，难度适中． 3．（2011•玉溪一模）已知一个锐角三角形两边长分别为3，4，则第三边长不可能的值是（ ） 4 3 6 4.5 A．B． C． D． 考点： 三角形三边关系． 分析： 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求的第三边的范围，再根据锐角三角形最长边的平方大于其他两边的平方，判断即可． 解答： 解：设第三边是x，由题意得： 4﹣3＜x＜4+3， 即：1＜x＜7． ∵三角形是锐角三角形， 222∴a+b＜c， ∵A、4，在1＜x＜7范围内，a=3，b=4，c=4， 222∴a+b＞c， 且故本选项A错误； B、3，在1＜x＜7范围内，a=3，b=3，c=4， 222∴a+b＞c， 故本选项B错误； C、6，在1＜x＜7范围内，a=3，b=4，c=6， 222∴a+b＜c， 故本选项C正确； D、4，在1＜x＜7范围内，a=3，b=4，c=4.5， 222∴a+b＞c， 故本选项D错误． 故选C． 点评： 此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 二．填空题（共6小题） 4．（2009•绥化）用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是 14或16或18 ． 考点： 勾股定理． 专题： 压轴题． 分析： 根据题意，先求出斜边，然后分情况计算： （1）当拼成的是直角边3重合的平行四边形时； （2）当拼成的是直角边4重合的平行四边形时； （3）当拼成的是斜边重合的四边形时． - 12 -
解答： 解：∵直角边分别为3和4 ∴其斜边是5 （1）当拼成的是直角边3重合的平行四边形时，其周长是（4+5）×2=18； （2）当拼成的是直角边4重合的平行四边形时，其周长是（3+5）×2=16； （3）当拼成的是斜边重合的四边形时，其周长是（3+4）×2=14． ∴所得的四边形的周长是14或16或18． 点评： 考查了学生的拼图能力，注意能够正确分析拼成的四边形的两组对边分别是多少． 5．如图，P是等边△ABC内一点，PA=6，PB=8，PC=10，则∠APB= 150° ．
考点： 旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理． 专题： 计算题． 分析： 利用旋转的性质解题．将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△DAB，根据旋转的性质可证△DBP为等边三角形，由勾股定理的逆定理可证△ADP是直角三角形，从而可求∠APB的度数． 解答： 解：将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△DAB， ∵BD=BP，∠DBP=∠ABC=60°， ∴△BDP为等边三角形，∠DPB=60°， 由旋转可知AD=PC=10，DP=BP=8， 222222∵AP+DP=6+8=10=AD， ∴△ADP是直角三角形，∠APD=90°， ∴∠APB=∠APD+∠DPB=150°． 点评： 本题利用了旋转的性质解题．关键是根据AB=BC，∠ABC=60°，得出等边三角形，运用勾股定理逆定理得出直角三角形． 6．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是36cm，则AC长是 6 cm．
2
- 13 -
考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理． 分析： 过点A作AE⊥BC于E，作AF⊥CD交CD的延长线于F，可得∠EAF=90°，根据同角的余角相等可得∠BAE=∠DAF，再利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到四边形AECF是正方形，再求出正方形的面积，然后根据正方形的性质求解即可． 解答： 解：如图，过点A作AE⊥BC于E，作AF⊥CD交CD的延长线于F， ∵∠BCD=90°， ∴∠EAF=90°， ∴∠DAF+∠DAE=∠BAE+∠DAE=90°， ∴∠BAE=∠DAF， 在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE=AF， ∴四边形AECF是正方形， 2∵四边形ABCD的面积是36cm， ∴正方形AECF的面积是36， ∴AC=36， 解得AC=6cm． 故答案为：6． 2， 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理．正方形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 7．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为
cm．
考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 在Rt△ACD中运用勾股定理就可以求出CD的长． 解答： 解：设CD=x，则易证得BD=AD=10﹣x． 222在Rt△ACD中，（10﹣x）=x+5， 222100+x﹣20x=x+5， - 14 -
∴20x=75， 解得：． 点评： 本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到BD=AD是关键． 8．（2014•灌南县模拟）小红在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为4、8、6，则原直角三角形纸片的斜边长是 20或 ．
考点： 图形的剪拼． 分析： 先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长． 解答： 解：①如图： 因为CD==4， 点D是斜边AB的中点， 所以AB=2CD=8， ②如图： 因为CE==10， 点E是斜边AB的中点， 所以AB=2CE=20， 原直角三角形纸片的斜边长是20或8故答案为：20或8．
， - 15 -
点评： 此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解． 9．（2007•绵阳）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
222①以a，b，c的长为边的三条线段能组成一个三角形 ②以的长为边的三条线段能组成一个三角形 ③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形 ④以
的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为 ②③ ． 考点： 勾股定理的逆定理；三角形三边关系． 专题： 压轴题． 222分析： 由已知三边，根据勾股定理得出a+b=c，然后根据三角形三边关系即任意一边长＞其他二边的差，＜其他二边的合，再推出小题中各个线段是否能组成三角形． 222222解答： 解：（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a+b=c，因而以a，b，c的长为边的三条线段不能满足两边之和＞第三边，故不能组成一个三角形，故错误； （2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在果能组成一个三角形，则有成立，即三个数中，即最大，如a+b+，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确； （3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）+h=a+b+2ab+h，（c+h）=c+h+2ch 又∵2ab=2ch=4S△ABC 222∴（a+b）+h=（c+h），根据勾股定理的逆定理 即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确； （4）若以的长为边的3条线段能组成直角三角形， 22222222假设a=3，b=4，c=5， ∵（）+（）≠（）， ∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误． 故填②③． 点评： 本题考查勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同时，通过这一题目要学会，用反例的方法说明一个命题是错误的思考方法． 三．解答题（共4小题）
10．（2012•宿迁）（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′， 求证：DE′=DE．
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222（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．
222
求证：DE=AD+EC．
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 专题： 压轴题；探究型． 分析： （1）先根据∠DBE=∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，故可得出∠DBE′=∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBE′，故可得出结论； （2）把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，所以∠DAE′=90°，由（1）证DE=DE′，再根据勾股定理即可得出结论． 解答： （1）证明：∵∠DBE=∠ABC， ∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC， ∵△ABE′由△CBE旋转而成， ∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE， ∴∠DBE′=∠DBE， 在△DBE与△DBE′中， ∵， ∴△DBE≌△DBE′， ∴DE′=DE； （2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′， ∵BA=BC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠BCE=45°， ∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合， ∴AE′=EC， ∴∠E′AB=∠BCE=45°， ∴∠DAE′=90°， 222在Rt△ADE′中，DE′=AE′+AD， ∵AE′=EC，
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∴DE′=EC+AD， 同（1）可得DE=DE′， ∴DE′=AD+EC， 222∴DE=AD+EC． 222222 点评： 本题考查的是图形的旋转及勾股定理，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键． 11．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC．求△ABC的面积．
考点： 三角形的面积． 专题： 计算题． 分析： 观察图形可以发现S△ABC=S正方形AEFD﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CDA，所以求△ABC的面积，分别求S正方形AEFD、S△AEB、S△BFC、S△CDA即可解题． 解答： 解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B、C为EF、FD的中点， S△ABC=S正方形AEFD﹣S△AEB﹣S△BFC﹣S△CDA， ==． 答：△ABC的面积为． 点评： 本题考查了直角三角形面积的计算，正方形各边相等的性质，本题中，正确的运用面积加减法计算结果是解题的关键． 12．（2012•南充）在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B． （1）求证：MA=MB；
（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
， - 18 -
考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 专题： 代数几何综合题；压轴题． 分析： （1）过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME=MF，再根据同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，设OA=x，表示出AE为2﹣x，即BF的长度，然后表示出OB=2+（2﹣x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出AB的长度，然后根据三角形的周长公式列式判断出△AOB的周长随AB的变化而变化，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时的x的值，然后解答即可． 解答： （1）证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F， ∵∠O=90°，∠MEO=90°，∠OFM=90° ∴四边形OEMF是矩形， ∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°， ∴ME=OQ=2，MF=OP=2， ∴ME=MF， ∴四边形OEMF是正方形， ∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°， ∴∠AME=∠BMF， 在△AME和△BMF中，∴△AME≌△BMF（ASA）， ∴MA=MB； （2）解：有最小值，最小值为4+2． 理由如下：根据（1）△AME≌△BMF， ∴AE=BF， 设OA=x，则AE=2﹣x， ∴OB=OF+BF=2+（2﹣x）=4﹣x， 在Rt△AME中，AM=∵∠AMB=90°，MA=MB， ∴AB=
， =， AM=•=- 19 -
， △AOB的周长=OA+OB+AB=x+（4﹣x）+=4+， ， 所以，当x=2，即点A为OP的中点时，△AOB的周长有最小值，最小值为4+即4+2． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角的性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用，以及二次函数的最值问题，作出辅助线，把动点问题转化为固定的三角形，构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 13．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求证：△ABD为直角三角形．
考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理． 专题： 证明题． 分析： 延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形即：△ABD为直角三角形． 解答： 证明：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴CE=AB=5，∠BAD=∠E， ∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13， 222∴CE+AE=AC， ∴∠E=90°， ∴∠BAD=90°， 即△ABD为直角三角形． - 20 -
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．
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