高一新生分班考试数学试卷(含答案)

（满分150分，考试时间120分钟）

题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简aa2  （ ）

2A．a B．a C．a D．a

2．分式的值为0，则x的值为 （ ）

A．1或2 B．2 C．1 D．2

3．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点。若EF＝2，BC＝5，CD＝3， 则tan C等于 （ ）

4334 B． C． D． 35454．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P= 40°，则∠BAC=（ ）

A．

A．40 B．80 C．20 D．10

OFP

C

BBEC

(3题图) (6题图) (4题图)

5．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是 （ ） A．

AAD00001573 B． C． D． 2161646．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边及对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为 ( ) A. 6 B.4 C.5

ADD. 3

P 7．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动

路途是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y及x的函数关系的是 B C

( )

yyyy

8888 O41216xO481216xO816xO416 ADBC8.若直角坐标系内两点P、Q满意条件①P、Q都在函数y的图象上②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y的一个“友好点对”（点对（P，Q）及（Q，P）看作同一个“友

x2x24x1，x0好点对”）。已知函数y1,则函数y的“友好点对”有（ ）个

，x02xA．0 B.1 C. 2 D.3

留意：请将选择题的答案填入表格中。

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人 二、填空题（每题5分，共50分）

9．已知a、b是一元二次方程x22x10的两个实数根，则代数式abab2ab 的值等于

10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度视察的结果如图所示．假如记2的对面的数字为m，3的对面的数字为n，则方程mx1n的解x满意kxk1，k为整数，则k E

6 2 2 D A

F 1 1 3 2 3 5

B C 甲 乙 丙

10题图 11题图

11．如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8，则AB的长为

12．记函数y在x处的值为f(x)（如函数yx也可记为f(x)x，当x1时的函数

22值可记为f(1)1）。已知，若abc且abc0，

得分 评卷人 b0，则

f(a)f(b)f(c)的全部可能值为

13．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的外表积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是

A1C1

B1

M CA

B

15题图16题图 13题图14题图14．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面AB1,BC2，三个侧面都是矩形，AA13

M为线段BB1上的一动点，则当AMMC1最小时，BM=

15.如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在

AB上，F，N在半圆上。若AB=10，则正方形CDMN的面积及正方形DEFG的面积之和是

16.如图，CD为直角ΔABC斜边AB上的高，BC长度为1，DE⊥AC。设ΔADE，ΔCDB，ΔABC的周长分别是p1,p2,p。当取最大值时，AB=

017. 如图放置的等腰直角ABC薄片（ACB90,AC2）沿x轴滚动，点A的运动

轨迹曲线及x轴有交点，则在两个相邻交点间点A的轨迹曲线及x轴围成图形面积为 ___ 18. 如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下及从左到右均为无限项，则这个数

y表中的第11行第7个数为 （用详细数字作答）

1 2 3 4 5 6 7…

3 5 7 9 11 13… 8 12 16 20 24… 20 28 36 44… 48 64 80…

AoBC17题图x留意：请将填空题的答案填在下面的横线上。 9. 10. _ _ 11. 12.

13. _ 14. _ _ _15. _ 16. _ 17. 18.

三、解答题（共60分）

19. （本小题满分12分）如图，抛物线及y轴交于A点，过点A的直线及抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点动身以每秒一个单位的速度向C挪动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N。设点P挪动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s及t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点P及点O，点C重合的状况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN能否为菱

y形？请说明理由.

N

B

M

A

O P C x 20. （本小题满分12分）函数f(x)，若自变量x取值范围内存在x0，使f(x0)x0成

立，则称以(x0,x0)为坐标的点为函数f(x)图像上的不动点。（f(x)的定义见第题） ．．．．．12．．．（1）若函数有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满意的条件；

（2）在（1）的条件下，若a=2，直线l:y(1a)xb1及y轴、x轴分别相交于A、B两点，在的图象上取一点P（P点的横坐标大于2)，过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形ABQP的面积等于2，求P点的坐标

（3）定义在实数集上的函数f(x)，对随意的x有f(x)f(x)恒成立。下述命题“若函数f(x)的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，赐予证明；若不正确，举反例说明。

yAPBQx

O421. （本小题满分12分）已知圆O圆心为坐标原点，半径为，直线l：交x轴负半轴

3于A点，交y轴正半轴于B点 （1）求BAO

（2）设圆O及x轴的两交点是F1,F2，若从F1发出的光线经l上的点M反射后过点F2，求光线从F1射出经反射到F2经过的路程

（3）点P是x轴负半轴上一点，从点P发出的光线经l反射后及圆O相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P的坐标 yy llBB

M

xPF1OF2AFOF2Ax1

22. （本小题满分12分）

在金融危机中,某钢材公司积压了局部圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.

(1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?

(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案?

（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑平安隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节约堆放场地？

23. （本小题满分12分）

试求出全部正整数a使得关于x的二次方程ax2(2a1)x4(a3)0至少有一个整

2图（1）图（2）数根.

数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共40分）

题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 8 C

三、填空题（每题5分，共50分）

9． 1 10． 0 11． 6 12． 1或-1 13． 6 14． 1 15． 25 16． 2 17． 42 18． 12288 三、解答题（共60分） 19．解：（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=…………… 3分 （2）sMNNPMP52171tt1(t1) 442515t2t44(0t3) ………………6分

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有

，解得t11，t22

所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形. ………………8分 ①当t=1时，，NP4，故,又在Rt△MPC中，MC此时四边形BCMN为菱形 …………10分 ②当t=2时，MP2，，故,又在Rt△MPC中，MCMC，此时四边形BCMN不是菱形. …………12分

20.解：（1）由题得有两个互为相反数的根x0，x0(x00)

即x(b3)xa0(xb)有两个互为相反数的根x0，x0 ……1分

2x0(b3)x0a0根带入得，两式相减得2(b3)x00，b3 ……3分

2x0(b3)(x0)a02MP2PC25，故MN=MC，2MP2PC25，故MN≠

方程变为xa0(x3) a0且a9 …………4分 （2）由（1）得a2,b3，所以l:yx2，即A（0,2） B(2,0) ……5分 设上随意一点，所以Q(t,0)(t2) ……6分 又因为S四边形AOQP-SAOB2，所以

2131(2)t222 ……8分 2t2 ……………………9分

（3）正确

①在f(x)f(x)令x0得f(0)f(0)所以f(0)0

所以(0,0)为函数的不动点 ……………………10分 ②设(x0,x0)为函数f(x)图像上的不动点，则f(x0)x0 所以f(x0)f(x0)x0，

所以(x0,x0)也为函数f(x)图像上的不动点 ……………………12分

21．解：（1）由题|OA|=4，|OB|=

430，所以，所以BAO30 2分 3/（2）如图（1）由对称性可知，点F1关于l的对称点F1在过点A4,0且倾斜角为60的

0/'直线l上在AF2F1中，F1AO60，AF1AF1AOF1O//'08， 3所以AF2F1为直角三角形，AF1F290。所以光线从F1射出经反射到F2经过的路程为F1MMF2F1MMF2F1F2'''083 ………………………… 6分 3'0（2）如图（2）由对称性可知，点P关于l的对称点P在过点A4,0且倾斜角为60的直线l上

/PMMQP'MMQP'Q，所以路程最短即为l/上点P/到切点Q的切线长最短。

连接OQ,OP，在RtOQP中，只要OP最短，

由几何学问可知，P应为过原点O且及l垂直的直线及l的交点，这一点又及点P关于l对称，∴APAPAOcos602，故点P的坐标为2,0 …………… 12分

'0'''///

yF1'yBlP'BlQMMAF1OF2xAPF1OF2x

22．解：(1) 设纵断面层数为n，则123......n2009 即，nn40180，经带入n62满意不等式，n63不满意

当n62时，剩余的圆钢最少 ………………………2分 此时剩余的圆钢为； ………………………4分

(2) 当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层,第一层圆钢根数为x，则由题意得：

2x(x1)(x2).....(xn1)2009，化简得，

即n(2xn1)2200927741， ……………………6分 因n1及n的奇偶性不同，所以2xn1及n的奇偶性也不同，且n2xn1，从而由上述等式得：或或或，所以共有4种方案可供选择。 -----------------------------8分

(3) 因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：

若n41，则x29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，两腰之长为400 cm，上下底之长为280 cm和680cm，从而梯形之高为2003 cm，

而200310400，所以符合条件； ………………10分 若n49，则x17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，两腰之长为480 cm，上下底之长为160 cm和640cm，从而梯形之高为2403 cm， 明显大于4m，不合条件，舍去；

综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节约堆放场地 ………………12分 23.解：原方程可化为(x2)a2x12，易知x2，此时 ……2分 因为a是正整数，即为正整数。又(x2)0，则(x2)2x12 即x2x80，解得4x2。

2222因为x2且x是整数，故x只能取-4，-3，-1，0,1,2， …………………………6分 依次带入a的表达式得

从而满意题意的正整数a的值有4个，分别为1, 3 ,6,10 …………………………12分