数学知识点总结集合与简易逻辑知识回顾：（⼀） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、⽆限集；空集、全集；符号的使⽤.
2. 集合的表⽰法：列举法、描述法、图形表⽰法. 集合元素的特征：确定性、互异性、⽆序性.
3 ?①⼀个命题的否命题为真，它的逆命题⼀定为真. 否命题?逆命题. ②⼀个命题为真，则它的逆否命题⼀定为真. 原命题?逆否命题. (⼆)含绝对值不等式、⼀元⼆次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统⼀⽅便)②求根，并在数轴上表⽰出来；
③由右上⽅穿线，经过数轴上表⽰各根的点（为什么？）；
④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上⽅的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下⽅的区间.x
（⾃右向左正负相间）
则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定.3.含绝对值不等式的解法
（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：⽤“零点分区间法”分类讨论.（3）⼏何法：根据绝对值的⼏何意义⽤数形结合思想⽅法解题.特例① ⼀元⼀次不等式ax>b 解的讨论；2
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互
为逆否互互否互
（1）标准化：移项通分化为
)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()
(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）≠≥?≥>?>0)(0)()(0)
()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f4.⼀元⼆次⽅程根的分布⼀元⼆次⽅程ax 2
+bx+c=0(a ≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“⾮零分布”：作⼆次函数图象，⽤数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“⾮”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“⾮”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；⾮p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “⾮”的真值判断（1）“⾮p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真．4、四种命题的形式：
原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。
6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q.函数知识回顾：
（⼀） 映射与函数 1. 映射与⼀⼀映射2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，⽽定义域和对应法则是起决定作⽤的要素，因为这⼆者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则⼆者完全相同的函数才是同⼀函数. 3.反函数（⼆）函数的性质 ⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个⾃变量的值x 1,x 2, ?若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这⼀区间具有（严格的）单调性，这⼀区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这⼀区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性
3. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称
x f y y -=→? ②y =f （x ））（轴对称x f y x -=→? ③y =f （x ））
（原点对称x f y --=→? 4. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的⼀定要分⼦有理化，例如：在进⾏讨论.
5. ?熟悉常⽤函数图象：例：|
|2x y =→||x 关于y 轴对称. |2|21+?
=x y →||21x y ??? ??=→|2|21+? =x y2
21222121222
22121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）（
|122|2-+=x x y →||y 关于x 轴对称.熟悉分式图象：例：372312-+=-+=
x x x y ?定义域},3|{R x x x ∈≠， 值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之⽐.
（三）指数函数与对数函数 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
对数运算：()na n a a a cb a b b a Na n a a n a a a aa a a a a a a a c
b aN N Na M n
M M n M N M NM
N M N M n a
1121log log ...log log 1log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(==??===±=-=+=?-推论：换底公式：
.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的⾃变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开⽅数不⼩于0；③对数的真数
⼤于0，底数⼤于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
.函数值域的求法：①配⽅法(⼆次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.数列
看数列是不是等差数列有以下三种⽅法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).看数列是不是等⽐数列有以下四种⽅法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+?=n n n
a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①
r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→⽤①转化等差，等⽐数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再⽤特征根⽅法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.①转化等差，等⽐：1)(11-=
-+=+=+++P r
x x Px Pa a x a P x a n n n n .
②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=?--1111)(1
)1( 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满⾜??≤≥+0
1m m a a 的项数m
使得m s 取最⼤值. (2)当1a <0,d>0时，满⾜≥≤+001
m m a a 的项数m 使得m s 取最⼩值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应⽤。（三）、数列求和的常⽤⽅法
1. 公式法:适⽤于等差、等⽐数列或可转化为等差、等⽐数列的数列。2.裂项相消法:适⽤于?
+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分⽆理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适⽤于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等⽐数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导⽅法.5.常⽤结论 4） )12)(1(613212222++=
++++n n n n 5）111)1(1+-=+n n n n)21
1(21)2(1+-=+n n n n 三⾓函数
2、同⾓三⾓函数的基本关系式：αααtan cos sin = 1c o s s i n 22=+αα
3、诱导公式：2k παα±把
的三⾓函数化为的三⾓函数，概括为：
“奇变偶不变，符号看象限” 三⾓函数的公式：（⼀）基本关系
x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x xx x x c o t
)2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππx x x x xx xx c o t
)c o t (t a n )t a n (c o s )c o s (s i n )s i n (-=--=--=-=-ππππβαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααc o s s i n22s i n =
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-= βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ααα2
t a n 1t a n 22t a n -=
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2c o s12s i n αα
-±= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 2
cos 12cos αα+±=βαβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 4
2675cos 15sin -== ,4
2615cos 75sin +== , ,.
反.⼀般地，若)(x f y =在],[b a 上递增（减），则)(x f y -=在],[b a 上递减（增）.②x y sin =与x y cos =的周期是π.
③)sin(
ω+=x y 或)cos(?ω+=x y （0≠ω）的周期ωπ2=T .αα
αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=2tan
x y =的周期为2π（πωπ
2=?=T T ，如图，翻折⽆效）.④)sin(
ω+=x y 的对称轴⽅程是2
ππ+=k x （Z k ∈），对称中⼼（0,πk ）；)c o s (?ω+=x y 的对称轴⽅程是πk x =（Z k ∈），对称中⼼（0,21ππ+k ）；)t a n (?ω+=x y 的对称中⼼（0,2π
k ）.x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=→?=原点对称 ⑤当αtan ·,1tan =β)(2
Z k k ∈+=+ππβα；αtan ·,1tan -=β)(2Z k k ∈+=-π
πβα. ⑥x y cos =与??
++=ππk x y 22sin 是同⼀函数,
⑦函数x y tan =在R 上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，x y tan =为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：⼀是定义域关于原点对称（奇偶都要），⼆是满⾜奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：x y tan =是奇函数，)31
tan(π+=x y 是⾮奇⾮偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f ⼀定有0)0(=f .（x ?0的定义域，则⽆此性质）⑨x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）
x y cos =是周期函数（如图）；x y cos =为周期函数（=T 212cos +=x y 的周期为π（如图）
，并⾮所有周期函数都有最⼩正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(.⑩ab
b a b a y =
+++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22. 三⾓函数图象的作法：
1）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点⼆线作图法（正、余切曲线）. 2）、利⽤图象变换作三⾓函数图象．向量平⾯向量向量的概念y=|cos2x +1/2|图象
(1)向量的基本要素：⼤⼩和⽅向. (2)向量的表⽰：⼏何表⽰法 AB ；字母表⽰：a ； 坐标表⽰法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的⼤⼩，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝1.
(5)相等的向量：⼤⼩相等，⽅向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）==?2121y y x x
(6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0
(7)平⾏向量(共线向量)：⽅向相同或相反的向量，称为平⾏向量.记作a ∥b .平⾏向量也称为共线向量.
4.重要定理、公式(1)平⾯向量基本定理
e 1，e 2是同⼀平⾯内两个不共线的向量，那么，对于这个平⾯内任⼀向量，有且仅有⼀对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平⾏的充要条件a ∥
b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ?a 2b ＝O ?x 1x 2＋y 1y 2＝O.中点公式OP ＝21（1＋2OP ）或+=+=.2,221
21y y y x x x 正、余弦定理正弦定理：.2sin sin sin R Cc
B b A a === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 三⾓形⾯积计算公式：
设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其⾼分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R
④S △=1/2sin C 2ab=1/2ac 2sin B=1/2cb 2sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式] ⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b
[注]：到三⾓形三边的距离相等的点有4个，⼀个是内⼼，其余3个是旁⼼. 如图：
图1 图2图3 图4
图1中的I 为S △ABC 的内⼼， S △=Pr
图2中的I 为S △ABC 的⼀个旁⼼，S △=1/2（b+c-a ）r a 附：三⾓形的五个“⼼”； 重⼼：三⾓形三条中线交点.
外⼼：三⾓形三边垂直平分线相交于⼀点. 内⼼：三⾓形三内⾓的平分线相交于⼀点. 垂⼼：三⾓形三边上的⾼相交于⼀点.旁⼼：三⾓形⼀内⾓的平分线与另两条内⾓的外⾓平分线相交⼀点.B I A B
C D E F IABC D EF r ar ar ab
c a a b c C空间向量
1．空间向量的概念：
具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量 注：?空间的⼀个平移就是⼀个向量
向量⼀般⽤有向线段表⽰同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量?空间的两个向量可⽤同⼀平⾯内的两条有向线段来表⽰2．空间向量的运算
定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB+=+= b a OB OA BA-=-=
)(R a OP ∈=λλ
运算律：?加法交换律：a b b a+=+
加法结合律：)()(c b a c b a++=++ ?数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3 共线向量
表⽰空间向量的有向线段所在的直线互相平⾏或重合，则这些向量叫做共线向量或平⾏向量．a 平⾏于b 记作b a//．
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表⽰a 、b的有向线段所在的直线可能是
同⼀直线，也可能是平⾏直线． 4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .
推论：如果l 为经过已知点A 且平⾏于已知⾮零向量a
的直线，那么对于任意⼀点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满⾜等式t OA OP +=a．其中向量a
叫做直线l 的⽅向向量. 5．向量与平⾯平⾏：已知平⾯α和向量a
，作OA a = ，如果直线OA 平⾏于α或在α内，那么我们说向量a 平⾏于平⾯α，记作：//a α．
通常我们把平⾏于同⼀平⾯的向量，叫做共⾯向量 说明：空间任意的两向量都是共⾯的6．共⾯向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共⾯的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+
推论：空间⼀点P 位于平⾯MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ 或对空间任⼀点O ，有OP OM xMA yMB =++①
①式叫做平⾯MAB 的向量表达式 7 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c
不共⾯，那么对空间任⼀向量p，存在⼀个唯⼀的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++
推论：设,,,O A B C 是不共⾯的四点，则对空间任⼀点P ，都存在唯⼀的三个 有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++8 空间向量的夹⾓及其表⽰：已知两⾮零向量,a b
，在空间任取⼀点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹⾓，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b ba <>=<>；若,2
a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.
9．向量的模：
设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a. 10．向量的数量积： a b ?= ||||cos ,a b a b ??<>．
已知向量AB a = 和轴l ，e
是l 上与l 同⽅向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e
上的正射影.
可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=?．
11．空间向量数量积的性质：
（1）||cos ,a e a a e ?=<> ．（2）0a b a b ⊥??= ．（3）2||a a a =?．
12．空间向量数量积运算律：
（1）()()()a b a b a b λλλ?=?=? ．（2）a b b a ?=? （交换律）（3）()a b c a b a c+=+ （分配律）．空间向量的坐标运算⼀．知识回顾：
（1）空间向量的坐标：空间直⾓坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则
),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=?a ∥)(,,332211R
b a b a b a ∈===?λλλλ33
2211b a b a b a ==?0332211=++?⊥b a b a b a2223
21a a a ++==(a a =??=)
23
2221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++?++++=>=<
②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.
（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平⾯α，则称这个向量垂直于平⾯α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平⾯α的法向量.
（3）⽤向量的常⽤⽅法：
①利⽤法向量求点到⾯的距离定理：如图，设n 是平⾯α的法向量，AB 是平⾯α的⼀条射线，其中α∈A ，则点B 到平⾯α.②利⽤法向量求⼆⾯⾓的平⾯⾓定理：设21,n n 分别是⼆⾯⾓βα--l 中平⾯βα,的法向量，则21,n n 所成的⾓就是所求⼆⾯⾓的平⾯⾓或其补⾓⼤⼩（21,n n ⽅向相同，21,n n 反⽅，则为其夹⾓）.
③证直线和平⾯平⾏定理：已知直线≠?a 平⾯α，α∈?∈?D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对µλ?使µλ+=.（常设µλ+=求解µλ,若µλ,存在即证毕，若µλ,不存在，则直线AB 与平⾯相交）.AB
不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念
不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- 2.不等式的基本性质（1）a b b a （对称性）（2）c a c b b a >?>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+?>（加法单调性）
（4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >?>>0,.
（7）bc ac c b a 0,（乘法单调性）
（8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><
>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>?
<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平⽅法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开⽅法则）3.⼏个重要不等式
（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2
a b +（当仅当a=b 时取等号）
极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：
○
1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最⼩； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最⼤. 利⽤极值定理求最值的必要条件：⼀正、⼆定、三相等.,3
a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则
a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b
>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）
2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若
常⽤不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--1)n ==≥
（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若n
n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====++++++
+≤++++∈∈ 33221122322212232221
2
332211321321))(();,,,,,,,,
不等式证明的⼏种常⽤⽅法
⽐较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.不等式的解法直线和圆的⽅程⼀、直线⽅程.
1. 直线的倾斜⾓：⼀条直线向上的⽅向与x 轴正⽅向所成的最⼩正⾓叫做这条直线的倾斜⾓，其中直线与x 轴平⾏或重合时，其倾斜⾓为0，故直线倾斜⾓的范围是)0(1800παα ≤≤.
注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.
②每⼀条直线都存在惟⼀的倾斜⾓，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每⼀条直线都有惟⼀的斜率，并且当直线的斜率⼀定时，其倾斜⾓也对应确定. 2. 直线⽅程的⼏种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ?两条直线平⾏：
1l ∥212k k l =?两条直线平⾏的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任⼀个―前提‖都会导致结论的错误.
（⼀般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平⾏的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜⾓为21,αα则1l ∥212αα=?l . ?两条直线垂直：
两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 这⾥的前提是21,l l 的斜率都存在.②0121=?⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）. 点到直线的距离：
点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B
A C By Ax d +++=.注：
1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =
2. 直线的倾斜⾓（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k3. 过两点121
2222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：.12()x x ≠当2121
,y y x x ≠=（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜⾓α＝?90，没有斜率王新敞
两条平⾏线间的距离公式：设两条平⾏直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2221BA C C d +-=.
7. 关于点对称和关于某直线对称：
关于点对称的两条直线⼀定是平⾏直线，且这个点到两直线的距离相等.
关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平⾏，则对称直线也平⾏，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平⾏，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹⾓的⾓平分线. ?点关于某⼀条直线对称，⽤中点表⽰两对称点，则中点在对称直线上（⽅程①），过两对称点的直线⽅程与对称直线⽅程垂直（⽅程②）①②可解得所求对称点.
⼆、圆的⽅程.
如果曲线C 的⽅程是f(x ,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=0 2. 圆的标准⽅程：以点),(b a C 为圆⼼，r 为半径的圆的标准⽅程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆⼼在坐标原点，半径为r 的圆的⽅程是：222r y x =+. 3. 圆的⼀般⽅程：022=++++F Ey Dx y x .当0422
F E D -+时，⽅程表⽰⼀个圆，其中圆⼼--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.
当0422=-+F E D 时，⽅程表⽰⼀个点--2,2
E D . 当0422
F E D -+时，⽅程⽆图形（称虚圆）.注：①圆的参数⽅程：?+=+=θθ
sin cos r b y r a x （θ为参数）.
③圆的直径或⽅程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A （⽤向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.
①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-? 5. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆⼼),(b a C 到直线l 的距离22
B
A C Bb Aa d +++=.①r d =时，l 与C 相切；
附：若两圆相切，则=++++=++++0
2222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线⽅程.②r d 时，l 与C 相交；
附：公共弦⽅程：设 有两个交点，则其公共弦⽅程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D . ③r d 时，l 与C 相离.由代数特征判断：⽅程组=++=-+-0)()(2
22C Bx Ax r b y a x ⽤代⼊法，得关于x （或y ）的⼀元⼆次⽅程，其判别式为?，则：
:0:222222111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y x Cl ?=?0与C 相切； l ??0 与C 相交； l ??0 与C 相离.
⼀般⽅程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆222r y x =+上⼀点),(00y x P 的切线⽅程为200r y y x x =+.圆锥曲线⽅程⼀、椭圆⽅程.
1. 椭圆⽅程的第⼀定义：为端点的线段
以⽆轨迹⽅程为椭圆21212121212121,2,
2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+①椭圆的标准⽅程：
i. 中⼼在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax=+.ii.
ii. 中⼼在原点，焦点在y 轴上：)0(12222b a b x a y=+.
②⼀般⽅程：)0,0(12
2
B A By Ax =+.③椭圆的标准参数⽅程：12222=+by a
x 的参数⽅程为==θ
θsin cos b y a x （⼀象限θ应是属于20π
θ ）. ?①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b
a c c F F -==.⑤准线：ca x 2±=或
c a y 2±=.⑥离⼼率：)10( e ac e =.
⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a
b c a b d -=和),(2a b c⼆、双曲线⽅程.1. 双曲线的第⼀定义：的⼀个端点的⼀条射线以⽆轨迹
⽅程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-①双曲线标准⽅程：)0,(1),0,(12222222
2 b a b x a y b a b y a x =-=-. ⼀般⽅程：)0(122 AC Cy Ax =+.
①i. 焦点在x 轴上：
顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线⽅程c a x 2±= 渐近线⽅程：0=±bya x 或02222=-by ax
②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离⼼率a c e =. ④准线距ca 2
2（两准线的距离）；通径ab 2
2. ⑤参数关系a c e b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线⽅程12222=-by a
x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线⽅程为x y ±=，离⼼率2=e . ?共渐近线的双曲线系⽅程：)0(222
2≠=-λλb y a x 的渐近线⽅程为02222=-y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b y
a x 时，它的双曲线⽅程可设为)0(2222≠=-λλby a x .
例如：若双曲线⼀条渐近线为x y 21=且过)21
,3(-p 解：令双曲线的⽅程为：)0(422≠=-λλy x
，代⼊)21,3(-得1282
2=-y x ?直线与双曲线的位置关系：
区域①：⽆切线，2条与渐近线平⾏的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2区域③：2条切线，2条与渐近线平⾏的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且⾮原点，1条切线，1条与渐近线平⾏的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，⽆切线，⽆与渐近线平⾏的直线.
⼩结：过定点作直线与双曲线有且仅有⼀个交点，可以作出的直线数⽬可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线⼀⽀有交点，交点为⼆个时，求确定直线的斜率可⽤代⼊”“?法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.三、抛物线⽅程.
3. 设0 p ，抛物线的标准⽅程、类型及其⼏何性质：
②)0(22≠=p px y 则焦点半径2
P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2
P y PF +=.
③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.④px y 22=（或py x 22
=）的参数⽅程为==pt y pt x 222（或?==222pt y pt
x ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统⼀定义..
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