湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
1．（5分）设集合A={x|x﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（） A． （0，2] B． （1，2） C． [1，2） D．（1，4）
2．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（） A． 13 B． 35 C． 49 D．63 3．（5分）流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）
A． f（x）=x
2
B． f（x）= C． f（x）=lnx+2x﹣6 D．f（x）=sinx
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A． 若m∥α，n∥α，则m∥n B． 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C． 若m⊥α，m⊥n，则n∥α D． 若m∥α，m⊥n，则n⊥α 5．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）
A．
6．（5分）要制作一个容积为4m，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（） A． 80元 B． 120元 C． 160元 D．240元 7．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为 A．
B．
，则f（x）的最小正周期为（）
C． π
D．2π
3
B． 5 C． D．4
8．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组
2
（a为常数）表示的平面区域的面积8，
则x+y的最小值（） A．
9．（5分）设角α∈（0， A． 40°
），角β=10°，且tanα=
C． 70°
，则α=（）
D．80°
B． 0
C． 12
D．20
B． 50°
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足（+），曲线C={P|
=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤|
=2
|≤R，r＜R}．若C∩Ω
为两段分离的曲线，则（）
A． 3＜r＜5＜R B． 3＜r＜5≤R C． 0＜r≤3＜R＜5 D．3＜r＜R＜5
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置．） 11．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为．
12．（5分）从4名女生和3名男生中选出3人参加三个不同的培训班，每个培训班一人．若这3人中至少有一名男生，则不同的选派方案共有种．（用数字作答）
13．（5分）已知函数f（x）=e+x（e为自然对数的底数），且f（3a﹣2）＞f（a﹣1），则实数a的取值范围为． 14．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为．
15．（5分）已知函数f（x）=x+e﹣（x＜0）与g（x）=x+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=
（1）求角B的值； （2）若
且b≤a，求
的取值范围．
4
x
4
|x|
2
17．（12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差
（Ⅲ）现从甲乙两班同学中各选取两名身高不低于170cm的同学，参加四项不同的体育项目，求有多少种不同的安排方法？
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n﹣5an﹣85，n∈N （Ⅰ）证明：{an﹣1}是等比数列； （Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn＜n﹣
？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
*
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2， ∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求AF与平面PCB所成的角的大小．
20．（13分）已知：以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
（Ⅰ）求证：△OAB的面积为定值；
（Ⅱ）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程． （Ⅲ）EG、FH是（II）中所求圆C内相互垂直的两条弦，垂足为P（3，2），求四边形EFGH面积的最大值．
21．（14分）已知函数f（x）=﹣x+6xcosα﹣16cosβ，且对任意实数t，均有f（3﹣cost）≥0，
﹣|t|
f（1+2）≤0恒成立．
（Ⅰ）求证：f（4）≥0，f（2）=0； （Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得函数g（x）=f（x）+（a+1）x﹣8x﹣a+若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
2
2
在x∈[1，4]存在零点？
湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
1．（5分）设集合A={x|x﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（） A． （0，2] B． （1，2） C． [1，2） D．（1，4）
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可． 解答： 解：A={x|0＜x＜2}，B={x|1≤x≤4}， ∴A∩B={x|1≤x＜2}． 故选：C．
点评： 本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题．
2．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（） A． 13 B． 35 C． 49 D．63
考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出． 解答： 解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，
所以
故选C．
点评： 此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题． 3．（5分）流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）
A． f（x）=x
2
B． f（x）= C． f（x）=lnx+2x﹣6 D．f（x）=sinx
考点： 程序框图．
专题： 操作型；算法和程序框图．
分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点．逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案． 解答： 解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是输出满足条件①f（x）+f（﹣x）=0，即函数f（x）为奇函数 ②f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点． A．∵f（x）=x，不是奇函数，故不满足条件①
B．∵f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件②
C．∵f（x）=lnx+2x﹣6的定义域（0，+∞）不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，故不满足条件①
D．∵f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x）=sinx符合输出的条件 故选：D
点评： 本题考查的知识点是程序框图，其中根据程序框图分析出程序的功能是解答的关键． 4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A． 若m∥α，n∥α，则m∥n B． 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C． 若m⊥α，m⊥n，则n∥α D． 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
考点： 空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B．运用线面垂直的性质，即可判断；
C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断； D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．
解答： 解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错； B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错． 故选B．
点评： 本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型． 5．（5分）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）
2
A． B． 5 C． D．4
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．
分析： 先根据三视图判断此几何体为直六棱柱，再分别计算棱柱的底面积和高，最后由棱柱的体积计算公式求得结果
解答： 解：由图可知，此几何体为直六棱柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形，上底边为1，下底边为3，高为1，
∴棱柱的底面积为2×
棱柱的高为1
∴此几何体的体积为V=4×1=4 故选D
=4，
点评： 本题主要考查了简单几何体的结构特征及其三视图，棱柱的体积计算公式等基础知识，属基础题
6．（5分）要制作一个容积为4m，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（） A． 80元 B． 120元 C． 160元 D．240元
考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 综合题；不等式的解法及应用．
分析： 设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．
解答： 解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则
3
∵长方形容器的容器为4m，高为1m，
∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80， ∵a+b≥2=4，
∴当a=b=2时，y取最小值160， 即该容器的最低总造价是160元， 故选：C．
点评： 本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键． 7．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为 A．
B．
，则f（x）的最小正周期为（）
C． π
D．2π
3
考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 根据f（x）=2sin（ωx+距离的最小值为
），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点
，正好等于f（x）的周期的倍，求得函数f（x）的周期T的值．
sinωx+cosωx=2sin（ωx+
）（ω＞0），x∈R，
，正好等于f（x）的周
解答： 解：∵已知函数f（x）=
在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为期的倍，
设函数f（x）的最小正周期为T，则故选：C．
点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到倍，是解题的关键，属于中档题．
=
，∴T=π，
正好等于f（x）的周期的
8．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组
2
（a为常数）表示的平面区域的面积8，
则x+y的最小值（） A．
B． 0
C． 12
D．20
考点： 简单线性规划．
专题： 计算题；作图题；压轴题；数形结合．
分析： 先在平面直角坐标系中，画出满足不等式组的
2
2
（a为常数），表示的平面
区域，再由Z=x+y中Z表示曲线y=﹣x+Z，与y轴交点的纵坐标，利用图象易得到答案． 解答： 解：满足约束条件
的可行域如下图所示，
若可行域的面积为8，则a=2由图可得当x=，y=﹣时， x+y取最小值﹣，
故选A
点评： 本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出约束条件对应的可行域是解答本题的关键．
9．（5分）设角α∈（0， A． 40°
考点： 专题： 分析： 解答：
），角β=10°，且tanα=
C． 70°
，则α=（）
D．80°
2
B． 50°
同角三角函数基本关系的运用．
三角函数的求值．
把sinβ，cosβ都用万能公式转化为正切，运用同角三角函数基本关系公式即可求值． 解：
tanα=====tan50°
故选：B．
点评： 本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足（+），曲线C={P|
=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤|
=2
|≤R，r＜R}．若C∩Ω
为两段分离的曲线，则（） A． 3＜r＜5＜R B． 3＜r＜5≤R
考点： 曲线与方程． 专题： 平面向量及应用．
C． 0＜r≤3＜R＜5 D．3＜r＜R＜5
分析： 设=（1，0），=（0，1），得出P点的轨迹是单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}
表示的平面区域是以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，
若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，根据圆圆相交得到答案． 解答： 解：在平面直角坐标系xOy中，向量、满足||=||=1，•=0， 不妨设=（1，0），=（0，1）， 则
=2
（+）=（2
，2
），
=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），0≤θ≤2π； ∴P点的轨迹是单位圆， Ω={P|（0＜r≤|
|≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环； 若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交， ∴|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1； 又∵|OQ|=4， ∴3＜r＜R＜5． 故选：D．
点评： 本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是得出点P的轨迹以及Ω={P|（0＜r≤|
|≤R，r＜R}表示的平面区域，是较难的题目．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置．） 11．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为12．
考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．
分析： 根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
解答： 解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
∴从编号1～480的人中，恰好抽取接着从编号481～720共240人中抽取
=24人， =12人．
故答案为：12．
点评： 本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题． 12．（5分）从4名女生和3名男生中选出3人参加三个不同的培训班，每个培训班一人．若这3人中至少有一名男生，则不同的选派方案共有186种．（用数字作答）
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计．
分析： 分析可得，“这3人中至少有1名男生”与“只选派女生”为对立事件，即则这3人中至少有1名男生等于从全部方案中减去只选派女生的方案数，由排列的方法计算全部方案与只选派女生的方案数，计算可得答案．
3
解答： 解：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，有A7种选法，
3
其中只选派女生的方案数为A4，
分析可得，“这3人中至少有1名男生”与“只选派女生”为对立事件，
则这3人中至少有1名男生等于从全部方案中减去只选派女生的方案数，
33
即合理的选派方案共有A7﹣A4=186种， 故答案为：186．
点评： 本题考查排列的运用，出现最多、至少一类问题时，常见的方法是间接法．
13．（5分）已知函数f（x）=e+x（e为自然对数的底数），且f（3a﹣2）＞f（a﹣1），则实数a的取值范围为
．
|x|2
考点： 指数函数综合题． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据函数式子得出f（﹣x）=f（x）=f（|x|），且在（0，+∞）单调递增，把f（3a﹣2）
＞f（a﹣1），转化为|3a﹣2|＞|a﹣1|，即8a﹣10a+3＞0，求解即得到实数a的取值范围．
|x|2
解答： 解：∵函数f（x）=e+x（e为自然对数的底数）， ∴f（﹣x）=f（x）=f（|x|），且在（0，+∞）单调递增， ∵f（3a﹣2）＞f（a﹣1）， ∴|3a﹣2|＞|a﹣1|， 即8a﹣10a+3＞0， 实数a的取值范围为a
或a
，
2
2
故答案为：（﹣∞，）∪（，+∞）
点评： 本题考察了偶函数的性质，单调性，求解不等式，属于中档题．
14．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为
．
考点： 圆的标准方程． 专题： 直线与圆．
分析： 由O向直线3x+y﹣4=0做垂线，垂足为D，当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，此时圆的直径为O（0，0）到直线3x+y﹣4=0的距离，由此能求出圆C面积最小值． 解答： 解：∵AB为直径，∠AOB=90°， ∴O点必在圆C上，
由O向直线3x+y﹣4=0做垂线，垂足为D，
则当D恰为圆与直线的切点时，圆C的半径最小，
此时圆的直径为O（0，0）到直线3x+y﹣4=0的距离d=∴此时圆的半径r=
=
2
，
，
=
．
∴圆C面积最小值Smin=πr=故答案为：
．
点评： 本题考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
15．（5分）已知函数f（x）=x+e﹣（x＜0）与g（x）=x+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是
．
4
x
4
考点： 对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质． 专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析： 由题意可化为e﹣﹣ln（x+a）=0在（0，+∞）上有解，即函数y=e﹣与y=ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，从而可得ln（a）＜1﹣，从而求解． 解答： 解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）=0在（0，+∞）上有解， 即e﹣﹣ln（x+a）=0在（0，+∞）上有解，
即函数y=e﹣与y=ln（x+a）在（0，+∞）上有交点， 函数y=e﹣与y=ln（x+a）在（0，+∞）上的图象如下：
﹣x﹣x
﹣x
﹣x﹣x
则ln（a）＜1﹣， 即a＜
，
．
故答案为：
点评： 本题考查了函数的图象的变换及函数与方程的关系，属于基础题．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A﹣cos2B=
（1）求角B的值； （2）若
且b≤a，求
的取值范围．
考点： 正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 解三角形．
分析： （1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sinA﹣2cosB=﹣2sinA，求得cosB 的值，可得cosB的值，从而求得B的值．
（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得． 解答： 解：（1）在△ABC中， ∵cos2A﹣cos2B=
2
2
2
2
2222
=2（
2
cosA+sinA）（cosA﹣sinA）
=2（cosA﹣sinA）=cosA﹣sinA=﹣2sinA．
又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sinA﹣（2cosB﹣1）=2﹣2sinA﹣2cosB， ∴2﹣2sinA﹣2cosB=﹣2sinA，∴cosB=，∴cosB=±，
2
2
2
2
2
2
2
2
∴B=或． ≤a，∴B==
=
， =
=2，得a=2sinA，c=2sinC，
（2）∵b=由正弦
故a﹣c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin（因为b≤a，所以所以a﹣c=
≤A＜sin（A﹣
，）∈[
≤A﹣，
﹣A）=sinA﹣＜）．
，
cosA=sin（A﹣），
点评： 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．
17．（12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图
（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差
（Ⅲ）现从甲乙两班同学中各选取两名身高不低于170cm的同学，参加四项不同的体育项目，求有多少种不同的安排方法？
考点： 茎叶图；极差、方差与标准差． 专题： 概率与统计．
分析： （1）观察茎叶图，可以看出数据的整体水平较高还是较低，有时不用通过具体的数据运算直接看出，有时差别较小，就需要通过数据作出，而本题属于前者．
（2）根据所给的数据，用平均数和方差的公式代入运算，因为数据较多，代入过程中不要出错．
（3）从甲乙两班同学中各选取两名身高不低于170cm的同学的选法有学全排的方法有
．
，然后将四名同
解答： （1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班；…．（3分） （2）
=170
甲班的样本方差为
2
2
2
+（168﹣170）
+（168﹣170）+（170﹣170）
2222
+（171﹣170）+（179﹣170）+（179﹣170）]+（182﹣170）]=57．（9分） （3）
…（12分）
点评： 求两组数据的平均值和方差是研究数据常做的两件事，平均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情况．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n﹣5an﹣85，n∈N （Ⅰ）证明：{an﹣1}是等比数列； （Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn＜n﹣
？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
*
考点： 数列递推式；数列与不等式的综合． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由a1=﹣14，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣5an+5an﹣1+1，由此能证明数列{an﹣1}是等比数列． （Ⅱ）由
，得
，由此能求出存在最小的n=4．
解答： （Ⅰ）证明：当n=1时，a1=﹣14， 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣5an+5an﹣1+1， 所以
，…．（4分）
，从而
又a1﹣1=﹣15≠0，
所以数列{an﹣1}是等比数列．…（6分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：得所以
，
，
=n﹣15×，
从而由Sn得
，
（n∈N），…．（8分）
*
，又n＞3，故存在最小的n=4…．（12分）
点评： 本题考查等比数列的证明，考查满足条件的实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2， ∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点． （1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求AF与平面PCB所成的角的大小．
考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角． 专题： 综合题；转化思想．
分析： （1）取PC的中点G，连接FG、EG，证出AF∥EG，由线面平行的判定定理，即可证出：AF∥平面PCE．
（2）先证出AF⊥平面PCD，再由（1），可证EG⊥平面PCD，由面面垂直的判定定理即可证出平面PCE⊥平面PCD；
（3）过E作EQ⊥PB于Q点，连QG，则∠QGE为所求的角，解Rt△EGQ即可． 解答： 证明：（1）取PC的中点G，连接FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线∴FGCD
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点 ∴AB
CD∴FG
AE∴四边形AEGF是平行四边形∴AF∥EG
又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE∴AF∥平面PCE （2）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD=A ∴CD⊥平面ADP，又AF⊂平面ADP∴CD⊥AF 直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形∴PA=AD=2
∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CD∩PD=D ∴AF⊥平面PCD∵AF∥EG∴EG⊥平面PCD 又EG⊂平面PCE 平面PCE⊥平面PCD 解：（3）过E作EQ⊥PB于Q点，连QG，CB⊥面PAB ∴
⇒QE⊥面PCB，则∠QGE为所求的角．
S△PEB=BE•PA=PB•EQ⇒EQ=在△PEC中，PE=EC=
，
，G为PC的中点，∴EG=
在Rt△EGQ中，sin∠EGQ=∴∠EGQ=30°
点评： 本题考查线面位置关系，面面位置关系的判定，空间角的求解．考查空间想象能力，转化思想，计算能力．
20．（13分）已知：以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
（Ⅰ）求证：△OAB的面积为定值；
（Ⅱ）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程． （Ⅲ）EG、FH是（II）中所求圆C内相互垂直的两条弦，垂足为P（3，2），求四边形EFGH面积的最大值．
考点： 圆的标准方程． 专题： 直线与圆．
分析： （Ⅰ）由已知设圆C的方程是（x﹣t）+（y﹣）=t+积为定值4．
222
，由此能求出△OAB的面
（Ⅱ）由已知得OC垂直平分线段MN．由kMN=﹣2，得直线OC的方程是y=t=2或t=﹣2，由此能求出圆C的方程．
（Ⅲ）设圆心C到EG、FH的距离分别为d1，d2，则的面积的最大值为8．
解答： （Ⅰ）证明：∵圆C过原点O，∴设圆C的方程是（x﹣t）+（y﹣）=t+令x=0，得
；
2
2
2
．从而解得：
，由此能求出四边形EFGH
．
，…（2分）
令y=0，得x1=0，x2=2t， ∴
=
=4，
即△OAB的面积为定值4．…（4分）
（Ⅱ）解：∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN． ∵kMN=﹣2，∴kOC=， ∴直线OC的方程是y=∴
．
，解得：t=2或t=﹣2．…．（6分）
， ，
当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），OC=此时C到直线y=﹣2x+4的距离
圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点．…．（7分）
当t=﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），OC=此时C到直线y=﹣2x+4的距离d=
＞
，
，
圆C与直线y=﹣2x+4不相交，…．（8分） ∴t=﹣2不符合题意舍去．
22
∴圆C的方程为（x﹣2）+（y﹣1）=5．…．（9分） （Ⅲ）解：设圆心C到EG、FH的距离分别为d1，d2， 则
，
≤8，…．（12分）
四边形EFGH的面积S==2
•
所以四边形EFGH的面积的最大值为8．…..（13分）
点评： 本题考查三角形面积为定值的证明，考查圆的方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．
21．（14分）已知函数f（x）=﹣x+6xcosα﹣16cosβ，且对任意实数t，均有f（3﹣cost）≥0，
﹣|t|
f（1+2）≤0恒成立．
（Ⅰ）求证：f（4）≥0，f（2）=0； （Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得函数g（x）=f（x）+（a+1）x﹣8x﹣a+
2
2
在x∈[1，4]存在零点？
若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
考点： 函数解析式的求解及常用方法．
专题： 计算题；证明题；函数的性质及应用．
分析： （Ⅰ）取t=π，得f（3﹣cosπ）≥0，即f（4）≥0，取t=0，得f（2）≥0，且f（2）≤0，则f（2）=0； （Ⅱ）由（Ⅰ），列出两式，由余弦函数的值域，求出cosα，cosβ，进而得到函数的解析式； （Ⅲ）假设存在实数a，符合题意．求出g（x）的表达式，讨论a=0，a≠0，g（1）＞0，考虑零点个数以及零点存在定理的运用，即可得到a的范围．
解答： （Ⅰ）证明：对任意实数t，均有f（3﹣cost）≥0，f（1+2取t=π，得f（3﹣cosπ）≥0，即f（4）≥0，
﹣|0|
﹣|t|
）≤0恒成立．
取t=0，得f（3﹣cos0）≥0⇒f（2）≥0，f（1+2）≤0⇒f（2）≤0， 则f（2）=0；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（2）=﹣4+12cosα﹣16cosβ=0⇒4cosβ=3cosα﹣1① f（4）=﹣16+24cosα﹣16cosβ≥0⇒4cosβ≤6cosα﹣4② 将①代入②，得cosα≥1，从而cosα=1，
2
，
故f（x）=﹣x+6x﹣8；
2
（Ⅲ）解：假设存在实数a符合题意．由（Ⅱ）知f（x）=﹣x+6x﹣8， 从而
1）当a=0时，零点为当a≠0时，由于
，
，符合要求．
，
2）若g（x）在x∈[1，4]有两个零点（含相等），则，
3）若g（x）在x∈[1，4]有一个零点，则．
综合可知：．
点评： 本题考查函数解析式的求法和函数的零点的判断，考查特值法解决问题的方法和运用函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．
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