2017-2018学年北京市昌平区八年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1. 若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. A.
B. B.
C. C. D.
D.
2. 的相反数是（ ）
3. 如图，已知∠ACD=60°，∠B=20°，那么∠A的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列卡通动物简笔画图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2
5. 用配方法解关于x的一元二次方程x-2x-5=0，配方正确的是（ ）
A. B. C. D. 6. 小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又
进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB=3．以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点P
的位置在数轴上（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
3个位置相邻的9个数7. 如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×（如
6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为（ ）
A.
C. B. D.
8. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC= ，点D是斜边AB的中点，点E
是边AC上一点，则DE+BE的最小值为（ ） A. 2
B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 10. 若分式 的值为0，则x的值为______．
11. 现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识
却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了______米的草坪，只为少走______米的路． 12. 计算 +|- |=______． 13. 在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大
N，于 AB的长为半径画弧，两弧相交于M，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如
果BC=5，CD=2，那么AD=______．
14. 小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固
的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为______． 15. 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，如图所示，AB
为Rt△ABC的斜边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3，AC=4，则图中空白部分的面积是______．
16. 阅读下面计算 + + +…+ 的过程，然后填空．
解：∵ = （ - ）， = （ - ），…， = （ - ）， ∴ + + +…+
= （ - ）+ （ - ）+ （ - ）+…+ （ - ） =（-+-+-+…+-） = （ - ） =．
以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1） + =______；
（2）当 + + +…+x= 时，最后一项x=______． 三、计算题（本大题共2小题，共11.0分） 17. 解方程： - =1．
22
18. 已知：关于x的一元二次方程x-（2m+3）x+m+3m+2=0．
（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC= 时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．
四、解答题（本大题共10小题，共57.0分）
19. 计算：2 ÷ × ．
20. 如图，已知△ABC．
（1）画出△ABC的高AD； （2）尺规作出△ABC的角平分线BE（要求保留作图痕迹，不用证明）．
21. 计算： - ．
2
22. 解方程：x-4x=1．
23. 已知：如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF=DC，
BC∥FE，∠A=∠D． 求证：AB=DE．
-，其中x= ． 24. 先化简，再求值： ÷
25. 列方程解应用题．
为促进学生健康成长，切实提高学生健康水平，某校为各班用400元购进若干体育用品，接着又用450元购进第二批体育用品，已知第二批所购体育用品数是第一批所购体育用品数的1.5倍，且每件体育用品的进价比第一批的进价少5元，求第一批体育用品每件的进价是多少？
26. 如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E
在BC上，且AE=CF
（1）求证：△ABE≌△CBF； （2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数．
2
27. 已知：关于x的方程mx-3（m+1）x+2m+3=0 （m≠0）．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含m的式子表示）； （3）若m为整数，当m取何值时方程的两个根均为正整数？
28. 在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD是△ABC的高，P是线段AC（不包括端点A，C）
D为直角顶点（D、P、E三点逆时针）上一动点，以DP为一腰，作等腰直角△DPE，连接AE．
（1）如图1，点P在运动过程中，∠EAD=______，写出PC和AE的数量关系；
（2）如图2，连接BE．如果AB=4，CP= ，求出此时BE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：由题意，得 x+3≠0， 解得x≠-3， 故选：C．
根据分式的分母不等于零，可得答案．
本题考查了分是有意义的条件，利用分母不等于零得出不等式是解题关键． 2.【答案】B
【解析】
解：的相反数是-，
故选：B．
根据相反数的意义，可得答案．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 3.【答案】A
【解析】
解：∵∠ACD=60°，∠B=20°，
-20°=40°， ∴∠A=∠ACD-∠B=60°故选：A．
根据三角形的外角性质解答即可．
此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答． 4.【答案】D
【解析】
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5.【答案】D
【解析】
2
解：∵x-2x-5=0， 2
∴x-2x=5，
则x2-2x+1=5+1，即（x-1）2=6， 故选：D．
常数项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案．
本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤． 6.【答案】C
【解析】
解：由勾股定理得，OB=∵9＜13＜16，
＜4， ∴3＜
∴该点位置大致在数轴上3和4之间． 故选：C．
，
利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．
本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键． 7.【答案】B
【解析】
解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x+16，
根据题意得出：x（x+16）=192， 故选：B．
根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键． 8.【答案】C
【解析】
解：作B关于AC的对称点B'，连接B′D，
，∠BAC=30°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°
∵AB=AB'，
∴△ABB'为等边三角形，
∴BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段， ∴最小值为B'到AB的距离=AC=故选：C．
作B关于AC的对称点B'，连接B′D，易求∠ABB'=60°，则AB=AB'，且△ABB'为等边三角形，BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，其最小值为B'到AB的距离=AC=
，所以最小值为
．
，
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 9.【答案】x≤3
【解析】
解：由题意得，3-x≥0， 解得x≤3． 故答案为：x≤3．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10.【答案】2
【解析】
解：由分式的值为零的条件得由2x-4=0，得x=2， 由x+1≠0，得x≠-1．
综上，得x=2，即x的值为2． 故答案为：2．
根据分式的值为零的条件可以得到
，
，从而求出x的值．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 11.【答案】50 20
【解析】
解：在Rt△ABC中，∵AB=40米，BC=30米， ∴AC=30+40-50=20，
∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路． 故答案为50，20
根据勾股定理求出AC即可解决问题．
本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，属于中考基础题． 12.【答案】3 【解析】
=50，
解：原式=2故答案为：3
+
=3，
原式利用二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 此题考查了实数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 13.【答案】3
【解析】
解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD， ∵BC=5，CD=2，
∴BD=AD=BC-DC=5-2=3． 故答案为：3．
直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案． 此题主要考查了基本作图，正确得出MN垂直平分AB是解题关键． 14.【答案】三角形具有稳定性
【解析】
解：用三角形稳固它们是因为三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 直接利用三角形具有稳定性得出答案．
此题主要考查了三角形的稳定性，正确把握三角形具有稳定性是解题关键． 15.【答案】60
【解析】
解：如图，在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，则根据勾股定理得到AB=
=5．
延长CB交FH于O，
∵四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，
，BC∥DE， ∴BG=AB=GM，∠ACB=∠ABG=∠F=∠H=∠MGB=90°
， ∴∠BOG=∠F=90°
-90°=90°，∠ABC+∠GBO=180°， ∴∠CAB+∠ABC=90°
∴∠CAB=∠GBO，
在△ACB和△BOG中，
，
∴△ACB≌△BOG（AAS）， ∴AC=OB=4，OG=BC=3， 同理可证△MHG≌△GOB， ∴MH=OG=3，HG=OB=4，
∴FR=4+3+4=11，FH=3+3+4=10，
∴S空白=S长方形HFRN-S正方形BCDE-S正方形ACQP-S正方形ABGM =11×10-3×3-4×4-5×5=60，
故答案为：60．
根据勾股定理求出AB，求出△ACB≌△BOG≌△GHM，求出AC=OB=HG=4，
BC=OG=MH=3，分别求出长方形FHNR，正方形BCDE，正方形ACQP，正方形ABGM的面积，即可求出答案．
本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出长方形HFRN的边长． 16.【答案】
【解析】
解：（1）+
=×（-）+×（-） =×（-+-） =×（-） =× =， 故答案为：； （2）设x=则
+
+
， +…+
-=）=
， ，
×（1-+-+-+…+×（1-1-==
）=， ，
，
则2n+1=13， 解得：n=6， ∴x=
，
故答案为：（1）由（2）设x=
+
．
=×（-）+×（-）=×（-+-）计算可得；
，得
+
+
+…+
=
，裂项求和得
出n的值，从而得出答案．
本题主要考查数字的变化规律、解一元一次方程，解题的关键是掌握裂项求和的能力和解一元一次方程的技能．
17.【答案】解：去分母得：x2-2x+2=x2-x，
解得：x=2，
检验：当x=2时，方程左右两边相等， 所以x=2是原方程的解． 【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 18.【答案】解：（1）∵x=2是方程的一个根，
2
∴4-2（2m+3）+m+3m+2=0， ∴m=0或m=1；
2
（2）∵△=（2m+3）-4（m2+3m+2）=1， =1；
∴x=
∴x1=m+2，x2=m+1，
∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根， ∴AC=m+2，AB=m+1．
∵BC= ，△ABC是等腰三角形， ∴当AB=BC时，有m+1= ， ∴m= -1；
当AC=BC时，有m+2= ， ∴m= -2，
综上所述，当m= -1或m= -2时，△ABC是等腰三角形． 【解析】
22
（1）把x=2代入方程x-（2m+3）x+m+3m+2=0得到关于m的一元二次方程，然后解关于
m的方程即可；
（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到x1=m+2，x2=m+1，则AC=m+2，AB=m+1．然后讨论：当AB=BC时，有m+1=
；当AC=BC时，有m+2=
，再分别解关于m的一
次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的判定．
×3 19.【答案】解：原式=4 ÷ =8×3 =24 ． 【解析】
直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键． 20.【答案】解：（1）如图，AD即为△ABC的高．
（2）如图，BE即为△ABC的角平分线． 【解析】
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图可得； （2）根据角平分线的尺规作图可得．
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线及角平分线的尺规作图．
21.【答案】解：原式= - = - = =
= ． 【解析】
先通分变成同分母的分式，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可． 本题考查了分式的加减法，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键，注意：结果化成最简分式或整式．
22.【答案】解：配方得x2-4x+4=1+4，
2
即（x-2）=5， 开方得x-2=± ， ∴x1=2+ ，x2=2- ．
【解析】
配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
2
（1）形如x+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一
次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
22
（2）形如ax+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x+px+q=0，然后配方．
23.【答案】证明：∵BC∥FE，
∴∠BCA=∠DFE． ∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+CF． ∴AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）． ∴AB=DE． 【解析】
根据已知条件得出△ABC≌△DEF，即可得出AB=DE．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据平行线的性质和全等三角形的判定解答．
24.【答案】解：原式= •
= •= -
-
-
= - =
当x= 时，
原式=
【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
25.【答案】解：设第一批体育用品每件的进价是x元．
根据题意，得1.5× = ，
解之，得x=20．
经检验，x=20是所列方程的解，并且符合实际问题的意义． 答：第一批体育用品每件的进价是20元． 【解析】
设第一批体育用品每件的进价是x元，则第一批进的数量是：是：
件，第二批进的数量
1.5可得方程． 件，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×
本题考查了分式方程的应用． 关键是根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×1.5列方程．
26.【答案】证明：（1）在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（HL）．
（2）∵△ABE≌△CBF， ∴∠BAE=∠BCF=20°； ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ACB=45°， ∴∠ACF=65°． 【解析】
（1）运用HL定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解决问题． （2）证明∠BAE=∠BCF=25°；求出∠ACB=45°，即可解决问题．
该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的关键．
27.【答案】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
2
∴△=[-3（m+1）]-4m（2m+3）=0，
2
∴（m+3）=0， ∴m1=m2=-3．
2
（2）∵mx-3（m+1）x+2m+3=0，即[mx-（2m+3）]（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=
．
=2+ 均为正整数，且m为整数，
（3）∵x1=1、x2=
∴ =1、-1或3． 当 =1时，m=3， 当 =-1时，m=-3， 当 =3时，m=1．
∴当m取1、3或-3时，方程的两个根均为正整数． 【解析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论； （3）根据（2）的结论结合方程的两个根均为正整数，即可得出的值．
本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解分式方程，解题的关键是：（1）牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”；（2）利用因式分解法解方程；（3）根据（2）的结论结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．
的值，解之即可得出m
28.【答案】45°【解析】
解：（1）PC=AE，
， ∵∠EDP=∠ADC=90°
， ∴∠ADE+∠ADP=∠ADP+∠CDP=90°
∴∠ADE=∠CDP， 在△ADE与△CDP中
∴△ADE≌△CDP（SAS），
，PC=AE； ∴∠EAD=∠PCD=45°故答案为：45°； （2）如图2，∵CD⊥AB，
． ∴∠ADC=90°
， ∵∠BAC=45°
∴AD=DC．
， ∵△DEP是等腰直角三角形，∠EDP=90°
，DE=DP． ∴∠DEP=∠DPE=45°， ∵∠EDP=∠ADC=90°
∴∠EDP-∠ADP=∠ADC-∠ADP． ∴∠EDA=∠PDC．
∴△EDA≌△PDC．（SAS），
， ∴AE=PC=∠EAD=∠ACD=45°过点E作EF⊥AB于F．
∴在Rt△AEF中，利用勾股定理，可得EF=AF=1，
∵AB=4，
∴BF=AB-AF=3． ∴BE=
=
．
，
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DEP=∠DPE=45°，DE=DP．根据全等三角形的性质得到AE=PC=结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
，过点E作EF⊥AB于F．根据勾股定理即可得到∠EAD=∠ACD=45°
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