《概率论》中的概率理论的学习和教学辅导方法探讨

科学教育论坛　中国科技信息２００６年第２期　ＣＨＩＮＡ　ＳＣＩＳ￣ＣＥ　ＡＮＤ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　Ｊａｎ．２００６　概率论　中的概率理论的学习　和教学辅导方法探讨　卢桂琳广西工学院电控系５４５０Ｏ５　摘要：本文针对学习概率论过程中不注意概率定叉的全面性，以及复杂事件的各种概率引起事件数量及原因、关系及结果问题这些教学难．点，补充了引　用了模糊数学中的语言概率的概念，从而使得概率论中概率的概念定义更加全面和完善，井通过引用数字电路中的卡诺图的方法，有效地解决了学习复杂事件　的概率难点，通过这两种方法，使我们对概率论中的概率知识有了更深一步的理解。　关键词：概论；模糊数学；条件概率；全概率公式；贝叶斯公式及贝努里概型　中图分类号：Ｇ４　文献标识码：Ｂ　笔者在＝奉１】课　的学习和数学辅导方向的多　年教学实践ｌ１Ｉ，体会最深的是学川概率论中概率概　念定义时，由＝卜慨率论这ｒ】技术较成熟，所以造成　教学时思维的定型，而没有能更深入地探讨，于是　许多人孤立地把它作为数学的　・个分支来对待，而　忽　了与其它学科的联系，所以没能全面地深划地　理解概率理论，必然影响刮对本门科学的深度和难　点的理解，继而影响到对本门学科的掌握程度，另　外，在计算慨率时，由于复杂事件的腺凶、事件的　数量，事件发生的条件、事件的结果及各种概率的　关系往往在题日当中足隐藏不露的，造成学习和教　学时的堆点。　本人因科研工作原因，深入地研究丁与概率　论交叉结合的模糊数学及电子学及各门科学，提出　解决学习理解概率概念难点的两种方法，想必读者　会从【丰ｌ得到启示。　卡诺图在数字电路的作用是用于表示事件发　乍的原因及事件的数量、事件发生的结果的奖系　的方块图，以求出条件与结果的逻辑函数表达式，　在概率的分析中我们只选用它的列表作图法来分析　求概率、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式及贝　努里概型巾的概率，以最著代表性的全概率事件的　发生为例。例２：甲，乙、丙三人向同一引几射击，　各人射中的概率分别为０．３，０．４，０．６。若一人射中，　机被击落的概率是０．２，若其中二：人射中，则飞　机被击落的概率是０．６；若三人同时射中，飞机必　定被击落，求飞机被击落的概率。从卡诺图分析　的观点来看，事件发生的条件足三人必须同时作射　击这件事情，三人同时射击是条件，击落是结果，　这样就把条件和结果区分开了，再来分析三人同时　射击时的情况，显然变量是甲、乙、丙，用Ａ１、Ａ２、　Ａ３表示，射中是原变量，未中是非变量。例　表　（ＢＩＷ　）：１；　卡ｌＪ用卡诺图，并由全概率公式得　Ｐ（ｗ）一　：Ｐ　）Ｐ（曰　）　所以得Ｐ（ｗ）＝０．１６８×０ｆ０．４３６×０，２＋０．３２４　×０．６＋０．０７２×１＝０．３５３６　读者可参照以上介绍的方法画出独立试验概　型的变量、变量与变量关系、事件的条件、事　件的结果的分析的卡诺图，限于篇幅，我们在　此就不一一举例了。　３。小结　综上所述，我们只有在尊重前人学术成果　基础Ｌ，不迷信权威，勇千探索，才能使本门学　科知识不断完善发展，学习概率论就是一个典型　例予，本文中介绍的补充模糊数学的这种学习方　法，就是要在此指出，光是懂得概率论中概率的　数值可用确定数值来表示是不够的，只有积极的　思考，才会有今天模糊数学这门学科来描述概率　１，补充模糊数学中的语言概率　想必大家对概率沦的基础概念　概率的定　１所示：　义很熟悉，在｝ｆ！＝ｃ率论教科书中，假如随机的事件一．　日发生，　定能用一个确定的数字来表示其概率，　０　０　０　或者说我们计算中接触的概率，其数值是一个常　数，我仃】总足把概率的数值作为一个确定的数值来　　ｌｌｏ　ｒｉ。　０　ｌ＼　＼　处理的，未必有很多人知道或者去想象并设想一下　概率的取值还有其它的可能。即有些随机事件的概　率是／ｆ　叫确的，是不能用一个确定的数字来表示，　例ｌ“李四是矮个子这一事实大概确切吧？”，这　＿ｌ　＿————Ｌ＿＿＿——　——　［　．示未射中，用０表示，而Ａ１表示射中，用１表　示，用卡诺图表示三人射击的所有情况是：如图　　ｌＩ　Ａ３　｛Ｉ———‘　～”翌　情　　２人　的数值用函数来表示的另一种情况，才能深入地、　全面地了解概率　概率论中事件Ｗ０－１　的定义，因此说，　＿４－Ｌ　—　＿＝ｊ　　ｉ一一　日　ｌ　ｌ　ｌ　（Ｗ１）・攀件ｗ１　我们不仅是掌握　了学习概率论的　一种方法，更是　为我们的学习积　ｆ事　累丁经验。另　句话中的“大概”只足一个程度和范围，这个范围　足无法确定的。那么我们就不能用一个具体的数字　来表示“大概”的概率是多少，这就说删ｒ现实中　不仅存在有用确定数字表示的概率，还存在有不能　（ｗｚ）－事件Ｗ２　ｌ件　外，对于复杂事　ｌ　‘ｗ　ｔ事件Ｗｓ　Ｉ　－ｌ　——　—｛　卜－————————　人都　件的概率计算的　难点，图１　用确定数字表示的概率，这种概率县有不确定性，　即具有模糊性，这就是模糊数学中的语言概率的来　源，显然本例中的“大概”的数值只能是一个区域，　因此概率具有模糊性，在模糊数学里用集合中的一　个函数表示概率，其函数叫隶属函数，有关模糊数　这样，・人射中的情况是事件ｗ，是　～１Ａ２ＡＡ一３Ａ１　，也就是图ｌ中　。作者善于　借用了电子学中的卡诺图，使得变量、事件的　个数，事件的原因、事件的条件及事件的结果　在图中清晰地得以表示，这样我们就把计算概率　公式中所需项全部找到，所以就解决了学习和教　学的难点，为我们找到了解决概率论难点的好办　法，并为我们如何把其它门学科与概辛ｉ论结合起　来提供了新的思路。　参考文献　学的语言概率的隶属函数，请读者参考有关文献，　在这里我们就　再洋细讨论。通过这个例子说明，　概率的数值有两种情况，在概率论中是确定的，而　在模糊数学中却只是用一个函数来表示其数值在一　个区域，在本文里　补充说明了模糊数学中的语言　概率，才是对概率定义有着较全面的、准确地理解，　所以说我们只有积极地思考，才能从司空见惯的现　象巾找出新见解。　的００１，０１０，１００，二人射中的事件ｗ，是ｌ１Ｏ。　１０１。Ｏｌｌ，而三人同时射中是事件ｗ　就用ｌｌｌ表　示，从图１还可看出，还有剩下的一种情况是三人　都未射中，即００００，同种情况用同一种颜色表示。　同种情况是事件发生的条件，从图中可看出，击落　概率有四个条件，所以此题有四种结果的概率，通　过卡诺图的分析，我们就可以把什么是变量，变量　与事件的区别，事件成立（发生）的条件，有几个　事件分清楚，然后我们就可以用概率公式求得：　Ｐ（ｗｆ，）＝Ｏ．７×Ｏ．６×０．４＝０．１６８，由题已知得击　［１１王士同．《模糊数学在人工智能中的应用》．机　械工业出版社．１　９９１年５月　［２】四川大学数学系高等数学教研组编，《高等数　学》，高等教育出版牡　落条件概率￣Ｐ（Ｂ　ＪＷ　）＝Ｏ。　ｌ　２，运用卡诺图解决复杂事件的　概率计算的难点　ｐ（ｗ．）＝０．３×０．６×０．４＋Ｏ．７×Ｏ．４×Ｏ．４＋　０．７×０．６×０．６＝０．４３６．击落条件概率Ｐ（Ｂ１ｗ．）＝Ｏ．　２ｌ　　Ｐ（Ｗ２）＝０．７×０．４×０．６十０．３×０　６×０．６＋　在概率论的学习中我们经常遇见有关复杂的　ｊ３×０．４×Ｏ．４＝０．３２４，击落条件概率Ｐ（Ｂｌｗ，）＝Ｏ．　事件中事件，事件的数量、事件的原因等容易引　Ｏ．　起混淆的问题，如果灵活运用数字电路中的卡诺　６ｌｐ（ｗ　）＝Ｏ．３×Ｏ．４×Ｏ．６　０．０７２，击落慨率为Ｐ　图方法，上述问题很容易得到解决。　８５一