2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A．2x﹣1=3 B．x2+x﹣1=0
C．x2+y=5 D．ax2+bx+c=0
2．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）一元二次方程x2﹣6x+9=0的根的情况（ ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不等的实数根
D．有两个相等的实数根
3．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0
4．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列命题正确的是（ ） A．平面上三个点确定一个圆 B．三角形的外心到三边距离相等 C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上 D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线 5．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，⊙O中径，那么∠OBC等于（ ）
的度数为60°，AC是⊙O的直
A．30° B．45° C．60° D．120°
6．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（ ）
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A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）
二、填空题（每小题2分，共20分）
7．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为 ． 8．（2分）（1997•陕西）设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，则（x1+x2）2﹣x1x2= ．
9．（2分）（2017秋•句容市期中）已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为 ．
10．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为 ．
11．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程 ．
12．（2分）（2016秋•淮安期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD= °．
13．（2分）（2014秋•玄武区期末）圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是 ．
14．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB= °．
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15．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦CD的长为 ．
16．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示：
x y ﹣2 7 ﹣1 0 0 ﹣5 1 ﹣8 2 ﹣9 3 ﹣8 则下列结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有 ．
三、解答题（本题10个小题，满分88分） 17．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）解下列方程： （1）x2﹣3x+2=0
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0．
18．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．
19．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．
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20．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．
（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为 m（用含x的代数式表示）；
（2）求（1）中x的值．
21．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．
22．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE． 求证：DB=DC．
23．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？
24．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F． （1）求证：AC是⊙O的切线；
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（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．
25．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知△ABC，∠C=90°．
（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．
26．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y1=ax2﹣2x﹣3（a≠0）的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上． （1）求出该二次函数的表达式和图象的顶点坐标；
（2）填写下面的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象； （3）当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1•y2＜0？请直接写出答案． x y1 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
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2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A．2x﹣1=3 B．x2+x﹣1=0
C．x2+y=5 D．ax2+bx+c=0
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、不是一元二次方程，故此选项错误； D、不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）一元二次方程x2﹣6x+9=0的根的情况（ ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不等的实数根
D．有两个相等的实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：△=36﹣4×9=0， ∴该方程有两个相等的实数根， 故选：D．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
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3．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0
【分析】A、由抛物线的开口向下，可得出a＜0，结论A错误； B、由抛物线与y轴的交点位置，可得出c＞0，结论B错误； C、由当x=1时y＞0，可得出a+b+c＞0，结论C正确； D、由a＜0及﹣
＞0，可得出b＜0，结论D错误．
综上即可得出结论．
【解答】解：A、∵抛物线开口向下， ∴a＜0，结论A错误；
B、∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0，结论B错误； C、∵当x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，结论C正确；
D、∵抛物线的对称轴在y轴右侧，且a＜0， ∴﹣
＞0，
∴b＜0，结论D错误． 故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
4．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列命题正确的是（ ） A．平面上三个点确定一个圆 B．三角形的外心到三边距离相等 C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上
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D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、平面上不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以A选项错误； B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以B选项错误； C、矩形的四个顶点一定在同一个圆上，所以C选项正确；
D、经过半径的外端并且与这条半径垂直的直线为该圆的切线，所以D选项错误． 故选：C．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，⊙O中径，那么∠OBC等于（ ）
的度数为60°，AC是⊙O的直
A．30° B．45° C．60° D．120°
【分析】根据弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵弧AB的度数为60°， ∴∠AOB=60°， ∵AC是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°﹣∠AOB=180°﹣60°=120°． ∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C=30°， 故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，利用了弧的度数等于圆心角的度数和邻补角定义求解．
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6．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（ ）
A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）
【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．
【解答】解：∵过格点A，B，C作一圆弧， ∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0）， ∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切， ∴当△BOD≌△FBE时， ∴EF=BD=2，
F点的坐标为：（5，1）或（1，3），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）或（1，3）． 故选：B．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．
二、填空题（每小题2分，共20分）
7．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为 x2+x﹣2=0 ．
【分析】把2移到等号左边即可．
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【解答】解：x2+x=2， x2+x﹣2=0，
故答案为：x2+x﹣2=0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
8．（2分）（1997•陕西）设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，则（x1+x2）2﹣x1x2= 73 ．
【分析】由根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．
【解答】解：∵方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2， ∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣72， 则（x1+x2）2﹣x1x2=1+72=73． 故答案为：73
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
9．（2分）（2017秋•句容市期中）已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为 2π ．
【分析】利用弧长的计算公式计算即可． 【解答】解：l=故答案为2π．
【点评】本题考查了弧长公式：l=为r）．熟记公式是解题的关键．
10．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为 y=3（x+2）2﹣1 ．
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=2π，
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径
【分析】利用二次函数平移规律进而求出即可．
【解答】解：y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y=3（x+2）2﹣1． 故答案为：y=3（x+2）2﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
11．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程 400（1+x）2=484 ．
【分析】利用增长率模型即可列出方程． 【解答】解：
∵2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元， ∴设年平均增长率为x，则可列出方程为400（1+x）2=484， 故答案为：400（1+x）2=484．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握增长率模型是解题的关键，即a（1±x）2=b．
12．（2分）（2016秋•淮安期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD= 130 °．
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOD=100°，
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∴∠A=50°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BCD=180°﹣50°=130°． 故答案为：130．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
13．（2分）（2014秋•玄武区期末）圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是 60πcm2 ．
【分析】根据底面半径OB=6cm，高OC=8cm，由勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【解答】解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm． ∴BC=
=10cm，
∴这个圆锥的侧面积是：×2πrl=π×6×10=60πcm2 故答案为：60πcm2．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
14．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB= 65 °．
【分析】由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数． 【解答】解：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∴∠OAP=∠OBP=90°．
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∴∠AOB=180°﹣∠P=130°，
由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=65°， 故答案为：65．
【点评】本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是连接BC、OB，利用直径对的圆周角是直角，切线的性质，圆周角定理解答．
15．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦CD的长为 8 ．
【分析】如图，连接OC；首先证明CE=DE；其次运用勾股定理求出CE的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC； ∵直径AB=10，BE=2， ∴OE=5﹣2=3，OC=5； ∵弦CD⊥AB，
∴CE=DE；由勾股定理得： CE=
=4，
∴CD=2CE=8． 故答案为8．
【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理、垂径定理等几何知识点来分析、判断、求解．
16．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示：
x
﹣2 ﹣1 0 第14页（共24页）
1 2 3
y 7 0 ﹣5 ﹣8 ﹣9 ﹣8 则下列结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有 ①③ ．
【分析】根据表格中的数据确定出抛物线的顶点坐标公式，开口方向，以及增减性，判断即可．
【解答】解：由表格中的数据可得：顶点坐标为（2，﹣9），与x轴一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴抛物线开口向上，
与x轴另一个交点为（5，0）； x=﹣2或6时，y=7；
当x＜2，y随x的最大而减小，由x=1时，y=﹣8，得到x＜1时，y＞﹣8； 正确的有：①③ 故答案为：①③
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
三、解答题（本题10个小题，满分88分） 17．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）解下列方程： （1）x2﹣3x+2=0
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0．
【分析】（1）根据十字相乘法解方程即可求解；
（2）先提取公因式（x+1），根据因式分解法解方程即可求解． 【解答】解：（1）x2﹣3x+2=0， （x﹣1）（x﹣2）=0， 解得x1=1，x2=2；
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0， （x﹣2）（x+1）=0， 解得x1=2，x2=﹣1．
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【点评】本题考查了解方程的方法﹣配方法、公式法、因式分解法，熟练掌握解方程的三种方法是解题的关键．
18．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）代入x=1可得出m2+2m=0，将其代入m2+2m+2017中即可求出结论． 【解答】（1）证明：∵△=（2m）2﹣4（m2﹣1）=4＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当x=1时，m2+2m=0， ∴m2+2m+2017=0+2017=2017．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=1找出m2+2m=0．
19．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．
【分析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE=BE，再由垂径定理可知CE=DE，故可得出结论．
【解答】证明：过点O作OE⊥AB，
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∵OA=OB， ∴AE=BE， 又∵在⊙O中， ∴CE=DE， ∴AC=BD．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．
20．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．
（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为 16﹣2x m（用含x的代数式表示）；
（2）求（1）中x的值．
【分析】（1）由篱笆的长度结合垂直于墙的边长为xm，即可求出平行于墙的一边的长度；
（2）根据长方形的面积公式结合生物园的面积为30m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵垂直于墙的边长为xm， ∴平行于墙的一边为（16﹣2x）m． 故答案为：16﹣2x．
（2）根据题意得：x（16﹣2x）=30， 整理，得：x2﹣8x+15=0， 解得：x1=3，x2=5． 答：x的值为3或5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据篱笆的长度用含x的代数式表示出平行于墙的一边的长度；（2）根据长方形的
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面积公式列出一元二次方程．
21．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．
【分析】把已知两点坐标代入二次函数解析式求出a与b的值，代入方程计算即可求出解．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3）， ∴解得：
， ，
所求方程为2x2﹣3x﹣2=0，即（2x+1）（x﹣2）=0， 解得：x1=﹣，x2=2．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．
22．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE． 求证：DB=DC．
【分析】由同弧所对的圆周角相等可得出∠DAC=∠DBC，结合角平分线的性质可得出∠EAD=∠DBC，根据圆内接四边形的性质可得出∠EAD=∠BCD，进而可得出∠DBC=∠DCB，再根据“等角对等边”即可证出DB=DC． 【解答】证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角， ∴∠DAC=∠DBC． ∵AD平分∠CAE，
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∴∠EAD=∠DAC， ∴∠EAD=∠DBC．
∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAD=∠BCD， ∴∠DBC=∠DCB， ∴DB=DC．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及角平分线的性质，根据圆内接四边形的性质结合角平分线的性质，找出∠DBC=∠DCB是解题的关键．
23．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？
【分析】等量关系为：（44﹣降价的价钱）×（20+降价后增加的双数）=1600，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：设每双应降价x元． （44﹣x）×（20+5x）=1600， 解得x1=4，x2=36．
答：每双应降价4元或36元．
【点评】找到利润的等量关系是解决本题的关键；难点是得到降价后一共卖出的量．
24．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．
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【分析】（1）欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；
（2）先得出△OAD是等腰直角三角形，再利用阴影部分的面积等于△OAD的面积减去扇形ODE的面积解答即可． 【解答】（1）证明：∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）； 又∵∠C=90°（已知），
∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等）， ∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线； （2）∵AC⊥OD，∠A=45°， ∴△OAD是等腰直角三角形， ∵AD=1， ∴△OAD的面积=∵∠DOE=45°， ∴扇形ODE的面积=∴阴影部分的面积=
．
，
．
【点评】本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知△ABC，∠C=90°．
（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．
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【分析】（1）先作∠B的角平分线与AC的交点为O，以O为圆心，OC为半径画半圆即可；
由∠ACB=90°得到OC⊥CB且OC=r，BC与半圆O相切，再过点O作OD垂直于AB交AB于点D，因为OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，所以OD=OC=r且OD⊥AB，从而证得AB与半圆O相切；
（2）先设半圆的半径为r，已知半圆O与AB相切于点D，得到OD⊥AB，∠ADO=90°，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB的长，再在△ADO和△ACB中，∠ADO=∠ACB∠A=∠A，证得△ADO∽△ACB，利用相似三角形的性质：两个三角形相似对应边的比相等直接求解．
【解答】解：（1）作∠B的角平分线与AC的交点O，以O为圆心，OC为半径画半圆； ∵∠ACB=90° ∴OC⊥CB且OC=r， ∴BC与半圆O相切
过点O作OD垂直于AB交AB于点D ∵OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC， ∴OD=OC=r且OD⊥AB ∴AB与半圆O相切；
（2）设半圆的半径为r，
∵半圆O与AB相切于点D∴OD⊥AB∴∠ADO=90° 在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴AB=
=
=5，
在△ADO和△ACB中
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∠ADO=∠ACB∠A=∠A ∴△ADO∽△ACB ∴
=
，
∴r=．
答：半圆的半径为．
【点评】本题考查了切线的判断与性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，此题综合性较强，比较复杂，一定要细心去做．
26．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y1=ax2﹣2x﹣3（a≠0）的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上． （1）求出该二次函数的表达式和图象的顶点坐标；
（2）填写下面的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象； （3）当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1•y2＜0？请直接写出答案． x y1 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
【分析】（1）先利用一次解析式确定一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），
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再把（﹣1，0）代入y1=ax2﹣2x﹣3得a=1，从而得到抛物线解析式，然后把抛物线配成顶点式得到顶点坐标；
（2）利用抛物线解析式计算自变量为﹣2、﹣1、0、1、2、3、4时对应的函数值，然后利用描点法画出二次函数解析式； （3）先通过解方程组
得抛物线与一次函数的交点坐标，再写出一次
函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围可满足y1＞y2；然后找出满足函数值异号的自变量的范围确定y1•y2＜0．
【解答】解：（1）当y=0时，﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，则一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）；
把（﹣1，0）代入y1=ax2﹣2x﹣3得a+2﹣3=0，解得a=1， 所以抛物线解析式为y1=x2﹣2x﹣3， 因为y1=（x﹣1）2﹣4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）； （2）如图，
（3）解方程组得或，
所以抛物线与一次函数的交点坐标为（﹣1，0）、（2，﹣3）， 当﹣1＜x＜2时，y1＞y2； 当x＞3时，y1•y2＜0．
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【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与一次函数的函数值的大小，可利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，
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