1．已知函数f（x）=
（a＞0，a≠1），数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），且{an}是单调递增
数列，则实数a的取值范围（ ）
A． [ 7，8） B． （1，8） C． （4，8） D． （4，7）
2．设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（ ） A． 2 B． ﹣2 C． 3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则=（ ） A． 1
B． ﹣1
C． 2
4．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（ ）
A． 5
B． 6
C． 7 5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（ ） A． 1 1
B． 5
C． ﹣8
6．数列{an}满足a1=2，an=，其前n项积为Tn，则T2016=（ ）
A．
B．
﹣
C． 1
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+2=2an+1﹣an，a6=4﹣a4，则S9=（ A． 9 B． 12 C． 14
8．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（ ） A． 4 7 B． 45 C． 38 9．在等比数列{an}中，，则a3=（ A． ± 9 B． 9 C．± 3
D．
﹣
D．
D． 8
D． ﹣11 D． ﹣1 ）
D． 18 D． 54
）
D． 3
10．在等差数列{an}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（ ） A． 2 0 B． 21 C． 42 D． 84
11． 设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 _________ 12．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为an（n∈N*）， 等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标 需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32 1152 6 60 48 2496 则等级为50级需要的天数a50= _________ ．
13．数列{an}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7= _________ ．
14．已知数列{an}中，an+1=2an，a3=8，则数列{log2an}的前n项和等于 _________ ．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，并满足an+2=2an+1﹣an，a6=4﹣a4，则S9= _________ ． 16．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10．则a10= _________ ．
17．设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2am，则m= _________ ． 18．已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣
+2（n∈N*），数列{bn}满足bn=2nan．
（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设数列{
an}的前n项和为Tn，证明：n∈N*且n≥3时，Tn＞
n﹣1
（3）设数列{cn}满足an（cn﹣3n）=（﹣1）
都有cn+1＞cn．
19．在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，
．
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
2
λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，
20．已知等差数列{an}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{bn}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2bn﹣1+bn=Sn，其中Sn是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．
（1）求an的表达式；
（2）若cn=﹣anbn，试问数列{cn}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有cn≤ck成立？并证明你的结论．
21．已知等差数列{an}的前n项和为sn=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N* （I）求q的值；
（Ⅱ）若a3=8，数列{bn}}满足an=4log2bn，求数列{bn}的前n项和．
22．已知等比数列{an}满足a2=2，且2a3+a4=a5，an＞0． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（﹣1）n3an+2n+1，数列{bn}的前项和为Tn，求Tn．
3
23．已知有穷数列﹛an﹜共有2k(k≧2，k∈Z)项，首项a1=2。设该数列的前n项和为Sn，且an+1=(a-1)Sn+2 (n=1，2，…,2k-1),其中常数a＞1
（1）求证：﹛ an﹜数列是等比数列 （2）若a=2 数列｛bn｝满足bn=
1㏒2(a1a2…an)(n=1,2, …2k)求数列｛bn｝的通项公式； n3333∣+∣b2-∣+∣b2k-1-∣+∣b2k-∣≦4，求k的值 （3）若（2）中的数列｛bn｝满足不等式∣b1-
2222
28．已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列． （1）求q3的值；
（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．
4
29．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，（I）求an； （II）若
，求数列{bn}的前n项和Tn．
，
．
30．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a2=8，S10=185． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设an=log2bn（n=1，2，3…），证明{bn}是等比数列，并求数列{bn}的前n项和Tn．
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
（a＞0，a≠1），数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），
1．（2014•天津模拟）已知函数f（x）=
且{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围（ ）
A． [ 7，8） B． （1，8） C． （4，8） 解：∵{an}是单调递增数列，
5
D． （4，7）
∴，解得7≤a＜8．故选：A．
2．（2014•天津）设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（ ） A． 2 B． ﹣2 C． D．
﹣
解：∵{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和， ∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：即
，解得：
．故选：D．
，
3．（2014•河南一模）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 A． 1
解：由题意可得
=
=
=
B． ﹣1
C． 2
，则=（ ）
D．
=1 故选A
4．（2014•河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（ ）
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 ： 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下 第一圈：S=2°＜100，k=1；是 第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是 第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是 第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是 第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是 第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是 第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否 满足S＞100，退出循环，此时k值为7 故选C 5．（2014•河西区三模）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2+a5=0，则 A． 11
B． 5
C． ﹣8
等于（ ）
D． ﹣11
\\6．（2014•河西区二模）数列{an}满足a1=2，an= A．
B．
﹣
，其前n项积为Tn，则T2014=（ ） C． 6
D． ﹣6
6
解：∵an=
，∴an+1=
，∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，
∴数列{an}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，∵2014=4×503+2，∴T2014=﹣6．故选：D．
7．（2014•河西区一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+2=2an+1﹣an，a6=4﹣a4，则S9=（ ） A． 9 B． 12 C． 14 D． 18 解：∵an+2=2an+1﹣an，∴2an+1=an+an+2∴数列{an}是等差数列．
又a6=4﹣a4，∴a4+a6=4，由等差数列的性质知：2a5=a4+a6=4，得a5=2． ∴S9=9a5=9×2=18．故选：D．
8．（2013•南开区一模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（ ） A． 4 7 B． 45 C． 38 D． 54
解答： 解：设公差为d，
由S7=28，S11=66得，，即，解得，
所以S9=9×1=45． 故选B．
9．（2013•天津一模）在等比数列{an}中，，则a3=（ ）
A． ± 9 B． 9
C．± 3 D． 3
解：设等比数列{an}的公比为q，则
∵，
∴
=27，
=3
两式相除，可得
∴a3=±3故选C．
10．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（ ） A． 8 B． 18 C． 26 D． 80 解答： 解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；
同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4， 故输出的结果为26．故选C．
11．（2012•天津模拟）在等差数列{an}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（ A． 20 B． 21 C． 42 D． 84 解：∵数列{an}为等差数列，
∴a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，
又4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36， ∴12a4+12a11=36，即a4+a11=3， ∵a1+a14=a4+a11=3，
则该数列的前14项和S14=
=21． 故选B
二．填空题（共7小题）
7
）
12．（2014•天津）设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 ﹣ ．
解：由题意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn=再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得 解得 a1=﹣，故答案为：﹣．
=S1•S4，即
=，
=a1•（4a1﹣6），
13．（2014•红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为an（n∈N*）， 等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标 需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32 1152 6 60 48 2496 则等级为50级需要的天数a50= 2700 ．
解：由表格可知：an=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），
∴a50=50×54=2700．故答案为：2700．
14．（2014•郑州模拟）数列{an}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7= 24 ． 解：由a2+a3=1，a3+a4=﹣2，两式作商得q=﹣2．
代入a2+a3=1，得a1（q+q2）=1．解得a1=．所以a5+a6+a7=（24﹣25+26）=24．故答案为：24．
15．（2014•厦门一模）已知数列{an}中，an+1=2an，a3=8，则数列{log2an}的前n项和等于
解：∵数列{an}中，an+1=2an，∴∵a3=8，∴Sn=1+2+3+…+n=
16．（2014•河西区一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，并满足an+2=2an+1﹣an，a6=4﹣a4，则S9= 18 ． 解：∵数列{an}的前n项和为Sn，并满足an+2=2an+1﹣an，∴数列{an}是等差数列，
∵a6=4﹣a4，∴a6+a4=4，∴
=
．故答案为：18．
，解得a1=2，∴
．故答案为：
=2，∴{an}是公比为2的等比数列，
，∴log2an=n，∴数列{log2an}的前n项和：
．
．
17．（2014•天津模拟）记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10．则a10= 10 ． 解：等差数列{an}的前n项和为Sn，
∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，∴
，解得a1=1，d=1，∴a10=1+9=10．故答案为：10．
18．（2014•北京模拟）设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2am，则m= 8 ． 解：∵Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，
8
∴2S9=S3+S6，即
=
+
，
﹣
整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2am=2a1qm1，且
﹣
a2+a5=2am，∴2a1q7=2a1qm1，即m﹣1=7，则m=8故答案为：8 三．解答题（共12小题） 19．（2014•濮阳二模）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式（Ⅱ）求数列
的前n项和Sn．
+2（n∈N*），数列{bn}满足bn=2nan．
20．（2014•天津三模）已知数列{an}的和Sn=an﹣
（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设数列{
﹣
an}的前n项和为Tn，证明：n∈N*且n≥3时，Tn＞；（3）设数列{cn}满足an（cn﹣3n）=（﹣
1）n1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn． 21．（2014•天津模拟）在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，
．
（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
解：（1）∵在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，
等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，
．
∴b2=b1q=q，
，（3分）解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）
∴an=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1．（7分）
（2）∵an=3n，bn=3n﹣1，∴cn=an•bn=n•3n，∴数列{cn}的前n项和 Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，∴3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1， ∴﹣2Tn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴Tn=×3n+1﹣
．
﹣n×3n+1=
﹣n×3n+1，
22．（2009•河西区二模）已知等差数列{an}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{bn}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2bn﹣1+bn=Sn，其中Sn是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．
（1）求an的表达式；
（2）若cn=﹣anbn，试问数列{cn}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有cn≤ck成立？并证明你的结论．
等比数列的前n项和；等差数列的通项公式． 等差数列与等比数列． （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
9
（2）利用等比数列的通项公式、
、分类讨论的思想方法即可得出．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4=9，a2+a6=10， ∴
，解得
，
∴an=2+1×（n﹣1）=n+1．
（2）∵Sn是首项为1，公比为的等比数列的前n项和， ∴nb1+（n﹣1）b2+…+2bn﹣1+bn=，① （n﹣1）b1+（n﹣2）b2+…+2bn﹣2+bn﹣1=…+
，② ①﹣②得b1+b2+…+bn=，即
．
当n=1时，b1=Tn=1， 当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=
=
．
∴．．
于是cn=﹣anbn
．
设存在正整数k，使得对∀n∈N*，都有cn≤ck恒成立． 当n=1时，，即c2＞c1．
当n≥2时，
=
=
．
∴当n＜7时，cn+1＞cn； 当n=7时，c8=c7； 当n＞7时，cn+1＜cn．
∴存在正整数k=7或8，使得对∀n∈N*，都有cn≤ck恒成立．
熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、
、分类讨论的思想方法是解题的关键．
23．已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．
10
点评：
证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q=∴an=×
=
，
Sn= 又∵==Sn ∴Sn=
（II）∵an=∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…﹣nlog33
∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣
=﹣（1+2+…+n）=﹣
24．已知等差数列{an}的前n项和为sn=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；（Ⅱ）若a3=8，数列{bn}}满
足an=4log2bn，求数列{bn}的前n项和． 解：（I）当n=1时，a1=s1=p﹣2+q
当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2
由{an}是等差数列，得p﹣2+q=2p﹣p﹣2，解得q=0．
（Ⅱ）由a3=8，a3=6p﹣p﹣2，于是6p﹣p﹣2=8，解得p=2所以an=4n﹣4 又an=4log2bn，得bn=2n1，故{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列．
﹣
所以数列{bn}的前n项和Tn=．
25．已知数列{an}（n∈N*）是等比数列，且an＞0，a1=3，a3=27． （1）求数列{an}的通项公式an和前项和Sn； （2）设bn=2log3an+1，求数列{bn}的前项和Tn． 解：（1）设公比为q，则a3=a1•q2，∴27=3q2，即q2=9∵an＞0，
∴
（2）由（1）可知bn=2log33n+1=2n+1，∴b1=3，
又bn+1﹣bn=2（n+1）+1﹣（2n+1）=2，
故数列{bn}是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴
．
26．已知等差数列{an} 的前n项和为Sn，a2=9，S5=65． （I）求{an} 的通项公式：（II）令
解：（I）
（2分）解得：
（4分），所以an=4n+1（6分）
，求数列{bn}的前n项和Tn．
（II）由（I）知（7分） 因为，（8分）
所以{bn} 是首项为b1=32，公比q=16的等比数列（9分），所以．（12分）
27．已知等比数列{an}满足a2=2，且2a3+a4=a5，an＞0． （1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=（﹣1）n3an+2n+1，数列{bn}的前项和为Tn，求Tn．
11
解：（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则即q=﹣1或q=2，∵an＞0，∴q=2．代入可得a1=1∴
﹣
…（2分）整理得q2﹣q﹣2=0，
．…
（Ⅱ）∵bn=（﹣1）n3an+2n+1=﹣3•（﹣2）n1+2n+1，…（9分）
n1∴Tn=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+（﹣2）]+（3+5+…+2n+1）=﹣3×
﹣
n2
=（﹣2）+n++2n﹣1．…
28．已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列．
（1）求q3的值；（2）求证：a2，a8，a5成等差数列． 解：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，若q=1，则S3+S6=9a1，2S9=18a1，
由a1≠0得S3+S6≠2S9，与题意不符，所以q≠1．
由S3+S6=2S9，得
．
；
整理，得q3+q6=2q9，由q≠0，1，设t=q3，则2t2﹣t﹣1=0，解得t=1（舍去）或t=﹣，所以（2）由（1）知：等差数列．
29．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，（I）求an；（II）若
，
．
，
则a8﹣a2=a5﹣a8， 所以a2，a8，a5成
，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（I）若q=1，则S6=2S3，这与已知矛盾，所以q≠1，（1分） 则
②式除以①式，得所以
①，所以
②（3分）
，代入①得a1=2， ．（7分）（II）因为
，（9分）
所以Tn=（21+20+21++2n2）+（1+2+3++n）=
﹣
﹣
（12分）
==．（14分）
30．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a2=8，S10=185． （1）求数列{an}的通项公式；（2）设an=log2bn（n=1，2，3…），证明{bn}是等比数列，并求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）
解得：d=3，a1=5，∴an=3n+2
（2）bn= ∴==
=23=8（n=1，2，3，…）∴{bn}是公比为8的等
12
∵b1=
=32∴Tn=
=
（8n﹣1）．
13
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