2013年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年浙江省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（ ）
A． ﹣3+i B．﹣ 1+3i C． ﹣3+3i D． ﹣1+i 考专分解点
复数代数形式的乘除运算．
点：
数系的扩充和复数．
直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以解：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i， 本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚题：
析：及虚数单位 i的幂运算性质，运算求得结果． 答：故选 B．
评：数单位 i的幂运算性质，属于基础题．
2
2．（5分）（2013•浙江）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（ ） A． （﹣
2，1] 考专分解
交、并、补集的混合运算；全集及其运算．
点：
B．（ ﹣
∞，﹣4]
C． （﹣
∞，1]
D． [1，+∞）
集合．
先根据一元二次不等式求出集合T，然后求解：∵集合S={x|x＞﹣2}， T={x|x2+3x﹣4≤0}={x|﹣4≤x≤1}， 故（∁RS）∪T={x|x≤1} 故选C．
题：
析：得 ∁RS，再利用并集的定义求出结果． 答：∴ ∁RS={x|x≤﹣2}，
点此题属于以一元二次不等式的解法为平考的题型．在求补集时注意全集的范围．
评：台，考查了补集及并集的运算，是高考中常
3
3．（5分）（2013•浙江）已知x，y为正实数，则（ ） A． 2lgx+lgy=2lgx+2lgy C． 2lgxlgy=2lgx+2lgy
•
B． 2lgD． 2lg
（x+y）
=2lgx•2lgy
（xy）
=2lgx•2lgy
考专分解
有理数指数幂的化简求值；对数的运算性
点：质．
函数的性质及应用．
直接利用指数与对数的运算性质，判断选项解：因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y所以2lgxy=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，
（
）
题： 析：即可． 答：为正实数） ，
故选D． 点
4．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（ ） A． 充分不必要条件
本题考查指数与对数的运算性质，基本知识
评：的考查．
B． 必要不充分条件
4
C． 充分必要条件 考专
D． 既不充分也不必要
条件
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
点：
三角函数的图像与性质．
题：
分φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin析：（ω x）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f
（x）为奇函数⇒f（0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．
所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不解
充分条件． 解：若φ=，
⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；
若f（x）是奇函数， ⇒f（0）=0，
∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0． ∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ= “f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．
5
答：则 f（x）=Acos（ωx+）
故选B． 点
本题考查充分条件、必要条件和充要条件的三角函数性质的灵活运用．
5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（ ） 评：判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意
A． a=4 考专分
B．a =5
C． a=6 D． a=7
程序框图．
点：
算法和程序框图．
根据已知流程图可得程序的功能是计算
6
题：
析： S=1+
+…+的值，利用裂项相消法易
得答案． 解
解：由已知可得该程序的功能是
+…+
=1+1﹣=2
答： 计算并输出S=1+
﹣．
若该程序运行后输出的值是，则 2﹣=． ∴a=4， 故选A． 点
本题考查的知识点是程序框图，其中分析出评：程序的功能是解答的关键． 6．（5分）（2013•浙江）已知则tan2α=（ ） A． B． 考专分
二倍角的正切；同角三角函数间的基本关
，
D．
C．
点：系．
三角函数的求值．
由题意结合sin2α+cos2α=1可解得sinα，题：
析：和 cosα，进而可得tanα，再代入二倍角
7
解
的正切公式可得答案． 解：∵，又sin2α+cos2α=1，
，或=
答：
联立解得
故tanα=
，或tanα=3，
==
=﹣，
代入可得tan2α=或tan2α=故选C 点
=
本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角
评：函数的基本关系，属中档题．
7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有° 考专
则（ ） °
C
C
A． ∠ABC=90B．∠BAC=90C． A B=AD．A C=B
平面向量数量积的运算．
点：
平面向量及应用．
8
题：
分设||=4，则|
|=1，过点C作AB的垂线，
析：垂足为 H，在AB上任取一点P，设HP0=a，
则由数量积的几何意义可得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰解
三角形，AC=BC．
解：设||=4，则||=1，过点C作AB的垂在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，
=||•||=||﹣（a+1））||， •=﹣a， 于是•≥
•
答：线，垂足为 H，
•恒成立，
整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立， 只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，于是a=1，
因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形， 所以AC=BC． 故选：D．
9
点
本题主要考查了平面向量的运算，向量的模义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力
评：及向量的数量积的概念 ，向量运算的几何意
8．（5分）（2013•浙江）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（ ）
A． 当 k=1时，f（x）在x=1处取得极小值 B． 当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值 C． 当 k=2时，f（x）在x=1处取得极小值 D． 当 k=2时，f（x）在x=1处取得极大值 考专分
函数在某点取得极值的条件．
点：
导数的综合应用．
通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在题：
析：x=1 处有极值，验证f'（1）=0，再验证f（x）
10
在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论． 解
解：当k=1时，函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣求导函数可得f'（x）=ex（x﹣1）+（ex﹣1）=（xex﹣1），
f'（1）=e﹣1≠0，f'（2）=2e2﹣1≠0， 则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值，
当k=2时，函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）2． 求导函数可得f'（x）=ex（x﹣1）2+2（ex﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xex+ex﹣2），
∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项． 故选C． 答：1 ）．
11
点
本题考查了函数的极值问题，考查学生的计
评：算能力，正确理解极值是关键．
9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C、1C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
A． 考专
B．
C． D．
椭圆的简单性质．
点：
圆锥曲线的定义、性质与方程． 题：
12
分
不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解析：
此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的
定义及性质即可求得C2的离心率． 解
解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：答： +y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴
2
+=
，即x2+y2=（2c）
==12，②
，解得x=2﹣，y=2+，
由①②得：
设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n， 则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2
=2，
∴双曲线C2的离心率e===． 故选D． 点
本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得属于中档题．
13
评：|AF 1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，
10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=f（A）．设α，
π
β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=f[f（P）]，Q2=f[f（P）]，恒有PQ1=PQ2，
β
α
α
β
则（ ）
A． 平 面α与平面β垂直
B． 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45° C． 平 面α与平面β平行
D． 平 面α与平面β所成的（锐）二面角为60° 考
空间中直线与平面之间的位置关系；平面与法．
点：平面之间的位置关系 ；二面角的平面角及求专分
空间位置关系与距离．
设P1是点P在α内的射影，点P2是点P在与P2在α内的射影重合于一点，由此可得四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角，根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案．
14
题：
析：β 内的射影．根据题意点P1在β内的射影
解解：设P1=f（P），则根据题意，得点P1是
α
答：过点 P作平面α垂线的垂足
∵Q1=f[f（P）]=f（P1），
β
α
β
∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足 同理，若P2=f（P），得点P2是过点P作平
β
面β垂线的垂足
因此Q2=f[f（P）]表示点Q2是过点P2作平
α
β
面α垂线的垂足
∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2， ∴点Q1与Q2重合于同一点
由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角 ∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直 故选：A
点
本题给出新定义，要求我们判定平面α与性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等
评：平面 β所成角大小，着重考查了线面垂直
15
知识，属于中档题．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．（4分）（2013•浙江）设二项式开式中常数项为A，则A= ﹣10 ． 考专分
二项式系数的性质．
的展
点：
排列组合．
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的中的常数项的值． 解
解：二项式的展开式的通项公式为 答：
Tr+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••．
令
=0，解得r=3，故展开式的常数项为
题：
析：系数等于 0，求得r的值，即可求得展开式
﹣=﹣10， 故答案为﹣10． 点
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展
16
评： 开式的通项公式，求展开式中某项的系数，
属于中档题．
12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于 24 cm3．
考专分解
由三视图求面积、体积．
点：
立体几何．
先根据三视图判断几何体的形状，再利用体解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：
17
题：
析：积公式计算即可．
答：何体 ，底面是直角三角形，直角边分别为3，
V=V﹣V=
棱柱
棱锥
=24（cm3）
故答案为：24．
点本题考查几何体的三视图及几何体的体积
V=Sh，V=Sh．考查空间想象能评：计算．
椎体
柱体
力．
13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足k= 2 ． 考专分
简单线性规划．
，若z的最大值为12，则实数
点：
不等式的解法及应用．
先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行值点A，即可得到答案．
18
题：
析：分类讨论，通过平移直线 z=kx+y得到最大
解解：可行域如图：
得：A（4，4），
答： 由
同样地，得B（0，2），
z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况． 当k＞0时，
目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2；
当k＜0时，
①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大， 此时，12=4k+4，
故k=2． ②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大， 此时，12=0×k+2， 故k不存在． 综上，k=2．
19
故答案为：2．
点
本题主要考查简单线性规划．解决此类问题域，将目标函数赋予几何意义．
评：的关键是正确画出不等式组表示的可行
14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 480 种（用数字作答） 考专分
排列、组合及简单计数问题．
点：
排列组合．
按C的位置分类，在左1，左2，左3，或所以只看左的情况最后乘以2即可． 解
题：
析：者在右 1，右2，右3，因为左右是对称的，
解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，
20
答： 或者在右1，右2，右3，
因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．
当C在左边第1个位置时，有A， 当C在左边第2个位置时，A和B有C右边的4个位置可以选，有AA， 当C在左边第3个位置时，有AA+AA，
共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有480种． 故答案为：480． 点
本题考查排列、组合的应用，关键在于明确理方法．
15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于 不存在 ． 考
直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．
评：事件之间的关系 ，同时要掌握分类讨论的处
点：
21
专分
圆锥曲线的定义、性质与方程． 由题意设直线l的方程为my=x+1，联立
得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16
题： 析：
（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得
=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2
﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可． 解
解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联
得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16
答： 立
（m2﹣1）＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）． ∴y1+y2=4m，∴1=2m2﹣1．
∴Q（2m2﹣1，2m），
由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）． ∵|QF|=2，∴
22
=2m，∴x0=my0﹣
，化为m2=1，
解得m=±1，不满足△＞0． 故满足条件的直线l不存在． 故答案为不存在． 点
本题综合考查了直线与抛物线的位置关系系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．
16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC= ． 考专分
正弦定理．
评：与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关
点：
解三角形． 题：
作出图象，设出未知量，在△ABM中，由
sin∠AMB=，进而可得析：正弦定理可得
cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=
，建立等式后可得a=b，再
，而
由勾股定理可得c=
23
sin∠BAC═=，代入化简可得答案． 解
解：如图
答：设 AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得
=
，
，解得sin∠AMB=，
代入数据可得=
故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=， 而在RT△ACM中，cosβ==故可得
，
=，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=
（a2﹣2b2）2=0，
解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=
，
=，
故在RT△ABC中，sin∠BAC===故答案为：
24
点
本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的
评：诱导公式以及勾股定理的应用，属难题． 17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则
考数量积表示两个向量的夹角．
的最大值等于 2 ．
点：
专平面向量及应用． 题：
分由题意求得 析： 可得
=
=
=，||==
=
，从而
，再利用二次函数的性质求得
的最大值．
解解：∵、 为单位向量，和的夹角等于
25
3=1×1×cos30°=． 答： 0°，∴
∵非零向量=x+y，
∴||=∴=
，
故当=﹣时，取得最大值为2， 故答案为 2．
点本题主要考查两个向量的数量积的运算，求评： 向量的模，利用二次函数的性质求函数的最
大值，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．
（Ⅰ）求d，an；
（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|． 考
=
=
=
=
，
=
数列的求和；等差数列的通项公式；等比数
26
点： 列的性质．
专分
等差数列与等比数列．
（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，an可求；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{an}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和．
解：（Ⅰ）由题意得4=0．解得d=﹣1或d=4．
当d=﹣1时，an=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．
当d=4时，an=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．
所以an=﹣n+11或an=4n+6；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，an=﹣n+11． 则当n≤11时，． 当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣
题：
析：5a 3成等比数列列式求出公差，则通项公式
解
，即
，整理得d2﹣3d﹣
答：
27
Sn+2S11=综上所述，
．
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=点
．
本题考查了等差数列、等比数列的基本概式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．
评：念，考查了等差数列的通项公式，求和公
19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分． （1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列；
（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c． 考
离散型随机变量及其分布列；离散型随机变
点：量的期望与方差．
28
专分
概率与统计．
（1）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．
题：
析：求出相应的概率可得所求 ξ的分布列；
解
解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，
=；P答：P （ξ=2）==；P（ξ=3）=
（ξ=4）=P（ξ=5）= ξ P η P
Eη=
2
=； =；P（ξ=6）= 3
4 2
= +（2﹣）2
+（3﹣）
5
3
=． 6
故所求ξ的分布列为
2 1
（2）由题意知η的分布列为
Dη=（1﹣）2
=．
，
得
解得a=3c，b=2c，
29
故a：b：c=3：2：1． 点
本题主要考查随机事件的概率和随机变量概括、运算能力，属于中档题．
20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC． （1）证明：PQ∥平面BCD；
（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．
评：的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象
考专
二面角的平面角及求法；直线与平面平行的
点：判定．
空间位置关系与距离；空间角；立体几何． 题：
30
分（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；
（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG==，从而得到tanθ=，由此可得∠BDC．
析：使得 DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据
解（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，
∴QF∥AD且QF=AD
∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点
∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD
答：使得 DF=3CF，连接OP、OF、FQ
31
中点得：OP∥AD且OP=AD
∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形 ∴PQ∥OF
∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；
（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH ∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG
又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线
∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM
∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线
∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH 因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60° 设∠BDC=θ，可得
Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=
sinθcosθ，
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BG=BCsinθ=2sin2θ Rt△BMD中，HG==中，tan∠CHG==
；Rt△CHG
∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°
点
本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题．
评：侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平
21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D． （1）求椭圆C1的方程；
33
（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．
考专分
直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 点：
圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得
题：的最值与范围问题． 析：圆的方程；
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到k的值． 解
解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．
；
答： ∴椭圆C1的方程为
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．
由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1． 又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=∴|AB|=
． =
．
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立解得∴|PD|=
，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，， ．
△
∴三角形ABD的面积S=令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4， f（t）=∴S=
△
=，
=，当且仅
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=，即
，当
， 时
取等号，
故所求直线l1的方程为点
．
本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．
评：及椭圆的位置关系等基础知识 ，同时考查了
22．（14分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．
考利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导点：数求闭区间上函数的最值．
专导数的综合应用． 题：
分（1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1析：时的导数值及 f（1），由直线方程的点斜式
写出切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三种情况求|f（x）|的最大值．特
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别当0＜a＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小． 解解：（1）因为f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，答：所以 f′（x）=3x2﹣6x+3a，
故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4； （2）由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2．
故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故
|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a． 当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故
|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1． 当0＜a＜1时，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，
得，． 所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）
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单调递增． 所以函数f（x）的极大值极小值
．
故f（x1）+f（x2）=2＞0，
． 从而f（x1）＞|f（x2）|．
，
所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}． 当0＜a＜时，f（0）＞|f（2）|． 又
=
故当又
=
．
所以当故当
时，f（x1）＞|f（2）|．
．
时，f（x1）≤|f（2）|．
．
时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．
故f（x）max=|f（2）|=3a﹣1．
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综上所述|f（x）|max=．
点本题考查了利用导数研究曲线上某点处的评：切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最
值，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答（2）的关键，此题属于难题．
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