知识简析 一、运动的合成
1．由已知的分运动求其合运动叫运动的合成．这既可能是一个实际问题，即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动；又可能是一种思维方法，即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的，通过对简单分运动的处理，来得到对于复杂运动所需的结果．
2．描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量，运动的合成应遵循矢量运算的法则：
（1）如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算．
（2）如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则． 3．合运动的性质取决于分运动的情况:
①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动．
②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运动，二者不共线时，为匀变速曲线运动。
③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。 二、运动的分解
1．已知合运动求分运动叫运动的分解．
2．运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则．
3．将速度正交分解为 vx＝vcosα和vy=vsinα是常用的处理方法．
4．速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向． 三、合运动与分运动的特征：
（1）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等．
（2)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响． (3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系，不能并存；
(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
【例1】如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以
dH2t2 (SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做
(A)速度大小不变的曲线运动． (B)速度大小增加的曲线运动． (C)加速度大小方向均不变的曲线运动．
(D)加速度大小方向均变化的曲线运动． 答案：B C 四、物体做曲线运动的条件
1．曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线；曲线运动的速度方向是该点的切线方向；曲线运动速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动．
2．物体做一般曲线运动的条件：运动物体所受的合外力（或加速度）的方向跟它的速度方向不在同一直线上（即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π的夹角）．
说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小。
3.重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变曲线运动，如平抛运动；另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动．
规律方法 1、运动的合成与分解的应用
合运动与分运动的关系：满足等时性与独立性．即各个分运动是独立进行的，不受其他运动的影响，合运动和各个分运动经历的时间相等，讨论某一运动过程的时间，往往可直接分析某一分运动得出．
【例2】小船从甲地顺水到乙地用时t1，返回时逆水行舟用时t2，若水不流动完成往返用时t3，设船速率与水流速率均不变，则（ ）
A．t3＞t1＋t2 ； B．t3＝t1＋t2； C．t3＜t1＋t2 ； D．条件不足，无法判断
【例3】如图所示，A、B两直杆交角为θ，交点为M，若两杆各以垂直于自身的速度V1、V2沿着纸面运动，则交点M的速度为多大？
【例4】玻璃板生产线上，宽9m的成型玻璃板以43m／s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为8m／s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次的时间多长？
【例5】如图所示的装置中，物体A、B的质量mA＞mB。最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，若用水平力F向右拉A，起动后，使B匀速上升。设水平地面对A的摩擦力为f,绳对A的拉力为T，则力f,T及A所受合力F合的大小（）
合≠O,f减小，T增大；合≠O,f增大，T不变；
C. F合＝O,f增大，T减小；D. F合＝O,f减小，T增大；
B项正确。
【例6】两个宽度相同但长度不同的台球框固定在水平面上，从两个框的长边同时以相同的速度分别发出小球A和B，如图所示，设球与框边碰撞时无机械能损失，不计摩擦，则两球回到最初出发的框边的先后是（ ）
A. A球先回到出发框边 B球先回到出发框边
D.因两框长度不明，故无法确定哪一个球先回到出发框边
A B
A/ C A D E/ E 【例7】如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A,B的绳分别与水平方向成a、β角，此时B物体的速度大小为 ，方向水平向右
【例8】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。
V
R θ P V2、小船渡河问题分析
O 【例9】一条宽度为L的河，水流速度为vs，已知船在静水中的航速为vc，那么，（1）怎样渡河时间最短？（2）若vs＜vc怎样渡河位移最小？（3）若vs＞vc，怎样渡河船漂下的距离最短？
E V Vc A α θ Vs 图2丙 B
Vc V1 Vc V Vs θ 图2乙
Vs θ V2 图2甲
思考：①小船渡河过程中参与了哪两种运动？这两种运动有何关系？ ②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么？ 3、曲线运动条件的应用
做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向．若合外力为变力，则为变加速运动；若合外力为恒力，则为匀变速运动； 【例10】质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F1时，物体可能做( )
A．匀加速直线运动； B．匀减速直线运动； C．匀变速曲线运动； D．变加速曲线运动。
【例11】图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电
a
b 粒子通过该电场区域时的运动轨迹,a,b是轨迹上的两点．若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（）
A.带电粒子所带电荷的符号 B.带电粒子在a,b两点的受力方向
C.带电粒子在a,b两点的速度何处较大 D.带电粒子在a,b两点的电势能何处较大
【例12】 如图所示，在竖直平面的xoy坐标系 y/m 3 内，oy表示竖直向上方向。该平面内存在沿x
M v1 轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点2 v0 沿oy方向竖直向上抛出，初动能为4J，不计空1 N x/m o 气阻力。它达到的最高点位置如图中M点所2 4 6 8 10 12 14 16 示。求：
⑴小球在M点时的动能E1。⑵在图上标出小球落回x轴时的位置N。⑶小球到达N点时的动能E2。
第 2 课 平抛物体的运动
知识简析 一、平抛物体的运动
1、平抛运动：将物体沿水平方向抛出，其运动为平抛运动．
（1）运动特点：a、只受重力；b、初速度与重力垂直．尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动
（2）平抛运动的处理方法：平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性．
（3）平抛运动的规律：以物体的出发点为原点，沿水平和竖直方向建成立坐标。
ax=0……① ay=0……④
水平方向 vx=v0 ……② 竖直方向 vy=gt……⑤
x=v0t……③ y=½gt2……⑥ ①平抛物体在时间t内的位移S可由③⑤两式推得s=
v0t2t144v0g2t2， gt2=222②位移的方向与水平方向的夹角α由下式决定tgα=y/x=½gt2/v0t=gt/2v0
2③平抛物体经时间t时的瞬时速度vt可由②⑤两式推得vt=v0gt2，
④速度vt的方向与水平方向的夹角β可由下式决定tgβ=vy/vx=gt/v0 ⑤平抛物体的轨迹方程可由③⑥两式通过消去时间t而推得：y=一条抛物线．
⑥运动时间由高度决定，与v0无关，所以t=2h/g，水平距离x＝v0t＝v02h/g
⑦Δt时间内速度改变量相等，即△v＝gΔt，ΔV方向是竖直向下的．说明平抛运动是匀变速曲线运动． 2、处理平抛物体的运动时应注意：
① 水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另一个分运动的存在而受到影响——即垂直不相干关系；
② 水平方向和竖直方向的两个分运动具有等时性，运动时间由高度决定，与v0无关； ③ 末速度和水平方向的夹角不等于位移和水平方向的夹角，由上证明可知tgβ=2tgα
【例1】 物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图1－16所示，再把物块放到P点自由滑下则 规律方法 1、平抛运动的分析方法
用运动合成和分解方法研究平抛运动，要根据运动的独立性理解平抛运动的两分运动，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．其运动规律有两部分：一部分是速度规律，一部分是位移规律．对具体的平抛运动，关键是分析出问题中是与位移规律有关还是与速度规律有关
【例2】如图在倾角为θ的斜面顶端A处以速度V0水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求（1）小球从A运动到B处所需的时间；（2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？ V0 V0 A 【例4】如图所示，一高度为h=的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连
B θ Vy1 接，一小球以V0=5m/s的速度在平面上向右运动。求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s2）。某同学对此题的解法为：
图8 h1小球沿斜面运动，则Vtgsint,由此可求得落地的时间 A A B sin2h t。问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，θ 则说明理由并求出你认为正确的结果。 2、平抛运动的速度变化和重要推论
①水平方向分速度保持vx=v0.竖直方向，加速度恒为g,速度vy =gt,从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示．这一矢量关系有两个特点：(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0; (2)任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv=Δvy=gΔt.
②平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量v0 s/ α hsvy2hvx=v0=s/t，而竖直分量vy=2h/t， tan， 所以有s h tan2vxss 【例5】作平抛运动的物体，在落地前的最后1s内，其速度方向由跟竖直方向成α v
20g22v0·x2， 可见，平抛物体运动的轨迹是
vv
60角变为跟竖直方向成45角，求:物体抛出时的速度和高度分别是多少？ 说明:此题如果画出最后1s初、末速度的矢量图，做起来更直观．
【例6】 从倾角为θ=30°的斜面顶端以初动能E=6J向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E /为______J。
3、平抛运动的拓展（类平抛运动）
【例7】如图所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求入射初速度．
00
A O v 0 B v0 θ D C vt vy
【例9】排球场总长18m，网高2．25 m，如图所示，设对方飞来一球，
刚好在3m线正上方被我方运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。（g取10m/s2）
（1）若击球的高度h＝2．5m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？
（2）若运动员仍从3m线处起跳，起跳高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平初速多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
第 3 课 匀速圆周运动
知识简析 一、描述圆周运动的物理量
1．线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值。 （1）物理意义：描述质点沿切线方向运动的快慢． （2）方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向． （3）大小：V=S/t
说明:线速度是物体做圆周运动的即时速度
2．角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值。
（l）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢． （2）大小：ω＝φ/t（rad／s）
3．周期T，频率f：做圆周运动物体一周所用的时间叫周期．
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速． 4．V、ω、T、f的关系
T＝1/f，ω＝2π/T=2πf，v＝2πr/T＝2πrf=ωr．
T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了．但v还和半径r有关． 5．向心加速度
（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢 （2）大小：a=v2/r=ω2r=4π2fr=4π2r/T2=ωv，
（3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化．不论a的大小是否变化，a都是个变加速度．
（4）注意：a与r是成正比还是反比，要看前提条件，若ω相同，a与r成正比；若v相同，a与r成反比；若是r相同，a与ω2成正比，与v2也成正比． 6．向心力
（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小．因此，向心力对做圆周运动的物体不做功．
（2）大小： F＝ma＝mv2/r＝mω2 r=m4π2fr=m4π2r/T2=mωv
（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化．即向心力是个变力．
说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定． 二、匀速圆周运动
1．特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
2．性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动．
3．加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．
4．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 三、变速圆周运动（非匀速圆周运动）
变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）．
变速圆周运动的合力一般不指向圆心，变速圆周运动所受的合外力产生两个效果． 1．半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向． 2．切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小．
故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值． 四、圆周运动解题思路 1．灵活、正确地运用公式
ΣFn＝man=mv2/r＝mω2r＝m4π2r/T2＝m4π2fr ； 2．正确地分析物体的受力情况，找出向心力． 规律方法 1.线速度、角速度、向心加速度大小的比较
在分析传动装置的各物理量时．要抓住不等量和相等量的关系．同轴的各点角速度ω和n相等，而线速度v＝ωr与半径r成正比．在不考虑皮带打滑的情况下．传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝v/r与半径r成反比．
【例1】对如图所示的皮带传动装置，下列说法中正确的是
(A)A轮带动B轮沿逆时针方向旋转． (B)B轮带动A轮沿逆时针方向旋转． (C)C轮带动D轮沿顺时针方向旋转． (D)D轮带动C轮沿顺时针方向旋转．
【例2】如图所示，皮带传动装置转动后，皮带不打滑，则皮带轮上A、B、C三点的情况是（ ） A．vA=vB，vB＞vC； B．ωA=ωB，vB = vC C．vA ＝vB，ωB＝ωc ；D．ωA＞ωB ，vB ＝vC
【例3】如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕轴O高速运动，有一颗子弹沿直径穿过圆筒，若子弹穿过圆筒时间小于半个周期，在筒上先、后留下a、b两个弹孔，已知ao、bo间夹角为φ弧度，则子弹速度为 2．向心力的认识和来源
（1）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力．
(2)由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动，故只存在向心加速 度，物体受的外力的合力就是向心力。显然物体做匀速圆周运动的条件是：物体的合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
（3）分析向心力来源的步骤是:首先确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，然后分析圆周运动物体所受的力,作出受力图,最后找出这些力指向圆心方向的合外力就
是向心力．例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O/点，不在球心O，也不在弹力N所指的PO
线上．这种分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
(4）变速圆周运动向心力的来源：分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相向．但要注意，
①一般情况下，变速圆周运动的向心力是合外为沿半径方向的分力提供． ②分析竖直面上变速圆周运动的向心力的来源时，通常有细绳和杆两种模型．
v2(5)当物体所受的合外力小于所需要提供的向心力时，即F向＜m时，物体做离心运动；当物体所受的合
rv2外力大于所需要的向心力，即F向＞m时，物体做向心运动。
r【例4】飞行员从俯冲状态往上拉时，会发生黑机，第一次是因为血压降低，导致视网膜缺血，第二次是因为大脑缺血，问（1）血压为什么会降低？（2）血液在人体循环中。作用是什么？（3）为了使飞行这种情况，要在如图的仪器飞行员进行训练，飞行员坐在一个垂直平面做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员受的加速度 a= 6g，则转速需为多少？（R＝20m）。 3、圆周运动与其它运动的结合
圆周运动和其他运动相结合，要注意寻找这两种运动的结合点：如位移关系、速度关系、时间关系等．还要注意圆周运动的特点：如具有一定的周期性等．
【例5】如图所示，M,N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计。简的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同角速度。转其中心轴线（图中垂直于纸面）作匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行）不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则（）
D.只要时间足够长，N筒上将到处落有微粒
【例6】如图所示，穿过光滑水平平面中央小孔O的细线与平面上质量为m的小球P相连，手拉细线的另一端，让小球在水平面内以角速度ω1沿半径为a的圆周做匀速圆周运动。所有摩擦均不考虑。 求： （1)这时细线上的张力多大？
(2)若突然松开手中的细线，经时间Δt再握紧细线，随后小球沿半径为b的圆周做匀速圆周运动。试问：Δt等于多大？这时的角速度ω2为多大？
分析：手松后，小球不受力，将做匀速直线运动，求时间必须明确位移。正确画出松手后到再拉紧期间小球的运动情况是解题的关键。求Wz要考虑到速度的分解：小球匀速直线运动速度要在瞬间变到沿圆周切向，实际的运动可看做沿绳的切向和垂直切向的两个运动同时进行，画出速度分解图，可求得半径为b的圆周运动的速度，进而求出ω2。
【例7】如图所示，位于竖直平面上的1／4圆轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求： （1）小球则运动到B点时，对轨道的压力多大？ （2）小球落地点C与B点水平距离S为多少？
（3）比值R／H为多少时，小球落地点C与B点水平距离S最远？该水平距离最大值是多少？
4、圆周运动中实例分析
【例8】如图所示，是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面．若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角为B,女运动员的质量为m,转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r,求这时男运动员对女运动员的拉力大小及两人转动的角速度
第 4 课 圆周运动的应用
知识简析 一、圆周运动的临界问题
首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．
（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R→v临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V临≠Rg ②能过最高点的条件：v≥Rg，当V＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道） （2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． ①当v＝0时，N＝mg（N为支持力）
②当 0＜v＜Rg时， N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力． ③当v=Rg时，N＝0
④ 当v＞Rg时，N为拉力，N随v的增大而增
大（此时N为拉力，方向指向圆心） 注意：管壁支撑情况与杆子一样
若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力．
注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度V0gR 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。 二.“质点做匀速圆周运动”与“物体绕固定轴做匀速转动”的区别与联系
（1)质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动，所以质点在做变速运动，处于非平衡状态。
(2）物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态。对于物体上不在转动轴上的任意微小质量团（可说成质点），则均在做匀速圆周运动。
规律方法 1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程
/
【例1】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m的物块A，设弹簧劲度系数为k，弹簧原长为L。将物块置于离圆心R处，R＞L，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块A相对圆盘始终未惰动。当ω增大到否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。
【例2】如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，
（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？
【例3】如图所示，细绳长为L，一端固定在O点，另一端R 系一质量为m、电荷量为+q的小球，置于电场强度为E的V0 匀强电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？
【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足怎样的关系式?
2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围
【例6】如图，直杆上0102两点间距为L，细线O1A长为3L，O2A长为L,A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？
9.(04全国卷Ⅱ23)一水平放置的水管,距地面高h =1.8 m,管内横截面积S =2.0 cm.有水从管口处以不
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O R 5kRl4mR时，物块A是
O变的速度v=2.0 m/sg =10 m/s,不计空气阻力.求水流稳定后在空中有多少立方米的水.
10．（05江苏13）A、B两小球同时从距地面高为h=15 m处的同一点抛出,初速度大小均为v0=10 m/s,A球 直向下抛出,B球水平抛出,空气阻力不计,重力加速度取g=10 m/s.求： （1）A球经多长时间落地？
（2）A球落地时,A、B两球间的距离是多少？
11．（05上海23）一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动,在圆盘上沿半径开有一条宽度为2 mm
光器与传感器上下对准,使二者间连线与转轴平行,分别置于圆盘的上下两侧,且可以同步地沿圆盘半径方向
匀速移动,激光器连续向下发射激光束.在圆盘转动过程中,当狭缝经过激光器与传感器之间时,传感器接收到
一个激光信号,并将其输入计算机,经处理后画出相应图线.图 (a)为该装置示意图,图(b)为所接收的光信号
随时间变化的图线,横坐标表示时间,纵坐标表示接收到的激光信号强度,图中Δt1×10s, Δt2× 10s.
(1)利用图(b)中的数据求1 s时圆盘转动的角速度； (2)说明激光器和传感器沿半径移动的方向； (3)求图(b)中第三个激光信号的宽度Δt3；
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